Determine os valores extremos das seguintes funções abaixo nos intervalos dados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores extremos da função no intervalo . Isso está ligado ao estudo de cálculo diferencial, especificamente de como encontrar máximos e mínimos de funções. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar seus pontos críticos e avaliar a função nesses pontos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de , onde é uma função de , é . Neste caso, e .
Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Vamos analisar .
Sabemos que a função exponencial nunca é zero para qualquer valor real de . Portanto, não há valores de onde . Além disso, está definida para todo , então não há pontos onde a derivada não existe.

Passo 4

Como não encontramos pontos críticos no intervalo , sabemos que os valores extremos da função devem ocorrer nas extremidades desse intervalo. Portanto, vamos calcular e .
Calculando:

Resposta

Os valores extremos da função no intervalo são:
  • Mínimo absoluto: em
  • Máximo absoluto: em

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Determine e .
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