Determine os valores extremos das seguintes funções abaixo nos intervalos dados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores extremos da função
no intervalo
. Isso está ligado ao estudo de cálculo diferencial, especificamente de como encontrar máximos e mínimos de funções. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar seus pontos críticos e avaliar a função nesses pontos e nos extremos do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada de
, onde
é uma função de
, é
. Neste caso,
e
.
Então, a derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Vamos analisar
.
Sabemos que a função exponencial
nunca é zero para qualquer valor real de
. Portanto, não há valores de
onde
. Além disso,
está definida para todo
, então não há pontos onde a derivada não existe.
Passo 4
Como não encontramos pontos críticos no intervalo
, sabemos que os valores extremos da função devem ocorrer nas extremidades desse intervalo. Portanto, vamos calcular
e
.
Calculando:
Resposta
Os valores extremos da função
no intervalo
são:
- Mínimo absoluto:
em - Máximo absoluto:
em
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Determine
e
.
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