Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para resolver a seguinte equação por separação de variáveis:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente usando o método de separação de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todas as expressões com
fiquem de um lado e as com
fiquem do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos reescrever isso isolando
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados da equação por
:
Simplificando a fração:
Passo 4
Vamos lembrar que
e
. Substituindo essas identidades:
Simplificando:
Passo 5
Agora, observe que podemos simplificar ainda mais:
Mas, para facilitar a integração, vamos reorganizar a equação original.
Passo 6
Voltando à equação original:
Podemos notar que essa é uma equação exata, pois os termos parciais em relação a
e
são iguais. Ou seja:
onde
e
.
Passo 7
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 8
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os dois lados:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante.
Passo 9
Portanto, a função potencial é:
onde
é uma constante qualquer.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
Determine os valores de
para os quais a função
é solução da equação:
a) , e
.
b) , e
a)
b)
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
Considere a equação
.
a) Verifique que, se e
são soluções da EDO acima, então
também o é.
b) Verifique que, se é solução da EDO acima, então, para qualquer constante
também é solução.
a) Verifique que, se
b) Verifique que, se