Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
(1+x^2) y^3 dx + (1-y^2) x^3 dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O exercício pede para resolver a equação
usando o método de separação de variáveis. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, onde aprendemos a resolver equações que envolvem derivadas de funções desconhecidas. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todas as funções de fiquem de um lado e as de do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de maneira mais clara:
Nosso objetivo é separar as variáveis e . Para isso, vamos organizar os termos de forma que possamos integrar cada lado em relação a uma única variável.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar as diferenças entre e :
Isso nos permite separar as variáveis, deixando os termos em de um lado e os termos em do outro.

Passo 4

Vamos simplificar as frações:
Para o lado esquerdo (em ):
Para o lado direito (em ):
Assim, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados:
Integramos o lado esquerdo em relação a :
Sabemos que:
Então,
e
Portanto,

Passo 6

Integramos agora o lado direito em relação a :
Usando a mesma regra de integração:
e
Portanto,

Passo 7

Igualamos as integrais dos dois lados:
Onde é a constante de integração. Podemos reorganizar a equação para isolar :

Passo 8

Para deixar a resposta mais organizada, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Podemos simplificar a constante para apenas , já que é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é uma constante real arbitrária.

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Determine os valores de r para os quais a função y(t) é solução da equação:
a) y(t) = r / (t^2 - 3), e y' + t y^2 = 0.
b) y(t) = r / (t^2 + 1), e y' - 2 t y^2 = 0
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Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
sec^2(x) * tg(y) dx + sec^2(y) * tg(x) dy = 0
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
(1+x^2) dy - x y dx = 0