Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O exercício pede para resolver a equação
usando o método de separação de variáveis. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, onde aprendemos a resolver equações que envolvem derivadas de funções desconhecidas. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todas as funções de
fiquem de um lado e as de
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada de maneira mais clara:
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
. Para isso, vamos organizar os termos de forma que possamos integrar cada lado em relação a uma única variável.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar as diferenças entre
e
:
Isso nos permite separar as variáveis, deixando os termos em
de um lado e os termos em
do outro.
Passo 4
Vamos simplificar as frações:
Para o lado esquerdo (em
):
Para o lado direito (em
):
Assim, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Integramos o lado esquerdo em relação a
:
Sabemos que:
Então,
e
Portanto,
Passo 6
Integramos agora o lado direito em relação a
:
Usando a mesma regra de integração:
e
Portanto,
Passo 7
Igualamos as integrais dos dois lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos reorganizar a equação para isolar
:
Passo 8
Para deixar a resposta mais organizada, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Podemos simplificar a constante
para apenas
, já que é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante real arbitrária.
Exercícios relacionados
Determine os valores de
para os quais a função
é solução da equação:
a) , e
.
b) , e
a)
b)
Determine o fluxo de
através de
. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).
d) ,
é a fronteira do semicilindro sólido
.
d)
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis: