Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, apresentando uma breve justificativa para sua resposta em cada caso.
(h) Sejam uma matriz, uma forma escalonada de e u uma matriz-coluna. Se o sistema de equações lineares é compatível, então existe uma matriz coluna para a qual o sistema linear é compatível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que a gente vai analisar está relacionado a sistemas de equações lineares, mais especificamente sobre matrizes, formas escalonadas e compatibilidade de sistemas. O que precisamos é descobrir se a afirmação dada é verdadeira ou falsa, e para isso vamos precisar entender o que significa uma forma escalonada de uma matriz e como isso afeta a solução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma forma escalonada de uma matriz. Quando a gente transforma uma matriz em uma forma escalonada usando operações elementares de linha, estamos simplificando o sistema de equações para facilitar a resolução. Essa forma ajuda a identificar se o sistema é compatível (ou seja, tem pelo menos uma solução) ou incompatível (nenhuma solução).

Passo 3

Agora, a afirmação diz: “Se o sistema é compatível, então existe uma coluna para a qual o sistema é compatível.”
Vamos analisar isso passo a passo. Se é compatível, significa que há pelo menos uma solução para esse sistema escalonado. Mas como é uma forma escalonada de , existe uma relação direta entre as soluções de e .

Passo 4

A chave aqui é que as operações de linha que transformam em preservam a compatibilidade do sistema. Ou seja, se conseguimos resolver , então podemos reverter essas operações para encontrar uma correspondente tal que também seja compatível. Basicamente, a compatibilidade se mantém quando voltamos à matriz original.

Passo 5

Portanto, a afirmação está dizendo que se a forma escalonada permite uma solução, então a matriz original também permite uma solução para algum . Isso é verdadeiro porque as soluções na forma escalonada correspondem às soluções na matriz original, ajustando-se apropriadamente para a coluna .

Resposta

Verdadeira. Se o sistema é compatível, então existe uma coluna tal que também é compatível.

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Determine para quais valores de o sistema de equações lineares
é:
(a) incompatível;
Determine para quais valores de o sistema de equações lineares
é:
(b) compatível e determinado;
Determine para quais valores de o sistema de equações lineares
é:
© compatível e indeterminado.
Verifique se existe alguma matriz-coluna de modo que o sistema de equações lineares seja incompatível, onde . Justifique sua resposta.