Os seguintes pares de retas são concorrentes ou paralelas. Determine a equação geral do plano que as contém
(a)
(b)
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos se os pares de retas são concorrentes ou paralelas e, depois, encontrar a equação geral do plano que as contém. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço e planos.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). As retas são dadas por:
r1: l x-32 = y+25 z = -1
e
r2: l x = -5 - 2z y = 1 + 3z
Primeiro, vamos reescrever essas equações das retas em forma paramétrica para facilitar a análise.
Passo 3
Para a reta x = 3 + 2t y = -2 + 5t z = -1 :
A equação (vamos chamar de parâmetro ). Então:
Portanto, o vetor direção de é .
Passo 4
Para a reta x = -5 - 2s y = 1 + 3s z = s :
Vamos usar como parâmetro. Então:
Portanto, o vetor direção de é .
Passo 5
Agora, vamos verificar se as retas são paralelas ou se elas se cruzam (concorrentes).
Para isso, comparamos os vetores direções e .
Observamos que e .
Se um vetor for múltiplo do outro, as retas são paralelas. Caso contrário, elas são concorrentes.
Aqui, não existe um número real tal que . Logo, as retas são concorrentes, ou seja, se cruzam em algum ponto.
Passo 6
Como as retas são concorrentes, vamos encontrar a equação do plano que as contém.
Para isso, precisamos de um ponto comum às duas retas e de um vetor normal ao plano.
Primeiro, encontramos o ponto de interseção das retas.
Igualando as equações paramétricas:
3 + 2t = -5 - 2s -2 + 5t = 1 + 3s -1 = s
Da última equação, x = -5 - 2(-1) = -5 + 2 = -3 y = 1 + 3(-1) = 1 - 3 = -2 z = -1 . Substituindo em , temos .
Agora, substituindo em :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 7
Agora, temos um ponto no plano n = v1 times v2 = i & j & k 2 & 5 & 0 -2 & 3 & 1 = (5 cdot 1 - 0 cdot 3)i - (2 cdot 1 - 0 cdot (-2))j + (2 cdot 3 - 5 cdot (-2))k = (5)i - (2)j + (6 + 10)k = 5i - 2j + 16k e os vetores direções das retas e .
Para encontrar o vetor normal ao plano, calculamos o produto vetorial entre e :
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 8
Com o vetor normal 5(x + 3) - 2(y + 2) + 16(z + 1) = 0 e o ponto 5x + 15 - 2y - 4 + 16z + 16 = 0 5x - 2y + 16z + 27 = 0 , podemos montar a equação geral do plano usando a fórmula:
Simplificando:
Resposta
A equação geral do plano que contém as retas 5x - 2y + 16z + 27 = 0 e é: