Prove as leis do cancelamento da adição de vetores:
u+x=u+y Rightarrow x=y
e
x+v=y+v Rightarrow x=y
para quaisquer x, y, u e v in V^3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente precisa provar duas leis de cancelamento na adição de vetores:
  1. Se u + x = u + y, então x = y.
  2. Se x + v = y + v, então x = y.
Para isso, vamos usar propriedades básicas de espaços vetoriais, como a existência do vetor inverso (ou oposto) e a propriedade comutativa da adição.

Passo 2

Primeiro, vamos provar a primeira lei: se u + x = u + y, então x = y. A ideia aqui é “cancelar” o vetor u adicionando o oposto de u a ambos os lados da equação. O vetor oposto de u é -u, que quando adicionado a u, resulta no vetor zero ( 0).

Passo 3

Aplicando isso na equação:
u + x = u + y
Adicionamos -u a ambos os lados:
-u + (u + x) = -u + (u + y)

Passo 4

Agora, usando a propriedade associativa da adição dos vetores, podemos reescrever:
(-u + u) + x = (-u + u) + y
Sabemos que -u + u = 0, então:
0 + x = 0 + y

Passo 5

E sabemos que adicionar o vetor zero a qualquer vetor não muda o vetor, ou seja, 0 + x = x e 0 + y = y. Assim:
x = y

Passo 6

Agora, vamos provar a segunda lei: se x + v = y + v, então x = y. A estratégia é a mesma: vamos adicionar o oposto de v a ambos os lados para “cancelar” v.

Passo 7

Aplicando isso na equação:
x + v = y + v
Adicionamos -v a ambos os lados:
-v + (x + v) = -v + (y + v)

Passo 8

Usando a propriedade associativa novamente:
(x + v) + (-v) = (y + v) + (-v)
Sabemos que v + (-v) = 0, então:
x + 0 = y + 0

Passo 9

Finalmente, já que adicionar o vetor zero não muda o vetor:
x = y

Resposta

Assim, provamos que u + x = u + y implica x = y e que x + v = y + v também implica x = y.

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