Prove as leis do cancelamento da adição de vetores:
e
para quaisquer
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente precisa provar duas leis de cancelamento na adição de vetores:
- Se
, então . - Se
, então .
Para isso, vamos usar propriedades básicas de espaços vetoriais, como a existência do vetor inverso (ou oposto) e a propriedade comutativa da adição.
Passo 2
Primeiro, vamos provar a primeira lei: se
, então
. A ideia aqui é “cancelar” o vetor
adicionando o oposto de
a ambos os lados da equação. O vetor oposto de
é
, que quando adicionado a
, resulta no vetor zero (
).
Passo 3
Aplicando isso na equação:
Adicionamos
a ambos os lados:
Passo 4
Agora, usando a propriedade associativa da adição dos vetores, podemos reescrever:
Sabemos que
, então:
Passo 5
E sabemos que adicionar o vetor zero a qualquer vetor não muda o vetor, ou seja,
e
. Assim:
Passo 6
Agora, vamos provar a segunda lei: se
, então
. A estratégia é a mesma: vamos adicionar o oposto de
a ambos os lados para “cancelar”
.
Passo 7
Aplicando isso na equação:
Adicionamos
a ambos os lados:
Passo 8
Usando a propriedade associativa novamente:
Sabemos que
, então:
Passo 9
Finalmente, já que adicionar o vetor zero não muda o vetor:
Resposta
Assim, provamos que
implica
e que
também implica
.