Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por
c) Como a adição de é a operação de adição padrão de , certos axiomas de espaço vetorial valem para por valerem em . Quais são esses axiomas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre o conjunto formado por todos os pares ordenados de números reais, com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de uma maneira específica. A parte © da questão quer saber quais axiomas de espaço vetorial são válidos para porque a adição em é a operação padrão de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são axiomas de espaço vetorial e quais deles são garantidos quando usamos a adição padrão dos vetores em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer adições e multiplicações por escalares que seguem certos regras, chamadas de axiomas. Esses axiomas garantem que as operações sejam bem definidas e comportem-se de forma consistente.
Aqui, usa a adição padrão de , ou seja, se temos dois vetores e , a soma deles é . Como essa adição segue a mesma operação que conhecemos em , podemos assumir que certos axiomas já se aplicam automaticamente.

Passo 3

Vamos listar os axiomas de espaço vetorial e identificar quais deles são garantidos pela adição padrão em :
  1. Fechamento da adição: A soma de dois vetores em também pertence a . Como estamos usando a adição padrão de , isso sempre vale.
  2. Comutatividade da adição: para quaisquer . A adição padrão em é comutativa, então esse axioma é válido.
  3. Associatividade da adição: para quaisquer . Novamente, na adição padrão de , isso sempre acontece.
  4. Elemento neutro da adição: Existe um vetor tal que para todo . Na adição padrão, o vetor zero é , que atua como neutro.
  5. Existência de inversos aditivos: Para todo vetor , existe um vetor tal que . Com a adição padrão, o inverso de é , que também pertence a .

Resposta

Os seguintes axiomas de espaço vetorial são válidos para pois a adição de é a operação padrão de :
  1. Fechamento da adição
  2. Comutatividade da adição
  3. Associatividade da adição
  4. Elemento neutro da adição
  5. Existência de inversos aditivos

Exercícios relacionados

Se , determine uma matriz tal que .
Determine para que , sendo e .
Determine valores de e para que as matrizes e sejam linha-equivalentes.
Resolva as seguintes equações:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) ;
(f) .