Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
e
por
c) Como a adição de
é a operação de adição padrão de
, certos axiomas de espaço vetorial valem para
por valerem em
. Quais são esses axiomas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre o conjunto
formado por todos os pares ordenados de números reais, com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de uma maneira específica. A parte © da questão quer saber quais axiomas de espaço vetorial são válidos para
porque a adição em
é a operação padrão de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são axiomas de espaço vetorial e quais deles são garantidos quando usamos a adição padrão dos vetores em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer adições e multiplicações por escalares que seguem certos regras, chamadas de axiomas. Esses axiomas garantem que as operações sejam bem definidas e comportem-se de forma consistente.
Aqui,
usa a adição padrão de
, ou seja, se temos dois vetores
e
, a soma deles é
. Como essa adição segue a mesma operação que conhecemos em
, podemos assumir que certos axiomas já se aplicam automaticamente.
Passo 3
Vamos listar os axiomas de espaço vetorial e identificar quais deles são garantidos pela adição padrão em
:
-
Fechamento da adição: A soma de dois vetores em
também pertence a . Como estamos usando a adição padrão de , isso sempre vale. -
Comutatividade da adição:
para quaisquer . A adição padrão em é comutativa, então esse axioma é válido. -
Associatividade da adição:
para quaisquer . Novamente, na adição padrão de , isso sempre acontece. -
Elemento neutro da adição: Existe um vetor
tal que para todo . Na adição padrão, o vetor zero é , que atua como neutro. -
Existência de inversos aditivos: Para todo vetor
, existe um vetor tal que . Com a adição padrão, o inverso de é , que também pertence a .
Resposta
Os seguintes axiomas de espaço vetorial são válidos para
pois a adição de
é a operação padrão de
:
- Fechamento da adição
- Comutatividade da adição
- Associatividade da adição
- Elemento neutro da adição
- Existência de inversos aditivos