Para resolver isso, vamos precisar entender o que são axiomas de espaço vetorial e quais deles são garantidos quando usamos a adição padrão dos vetores em .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer adições e multiplicações por escalares que seguem certos regras, chamadas de axiomas. Esses axiomas garantem que as operações sejam bem definidas e comportem-se de forma consistente.
Aqui, usa a adição padrão de , ou seja, se temos dois vetores e , a soma deles é . Como essa adição segue a mesma operação que conhecemos em , podemos assumir que certos axiomas já se aplicam automaticamente.
Passo 3
Vamos listar os axiomas de espaço vetorial e identificar quais deles são garantidos pela adição padrão em :
Fechamento da adição: A soma de dois vetores em também pertence a . Como estamos usando a adição padrão de , isso sempre vale.
Comutatividade da adição: para quaisquer . A adição padrão em é comutativa, então esse axioma é válido.
Associatividade da adição: para quaisquer . Novamente, na adição padrão de , isso sempre acontece.
Elemento neutro da adição: Existe um vetor tal que para todo . Na adição padrão, o vetor zero é , que atua como neutro.
Existência de inversos aditivos: Para todo vetor , existe um vetor tal que . Com a adição padrão, o inverso de é , que também pertence a .
Resposta
Os seguintes axiomas de espaço vetorial são válidos para pois a adição de é a operação padrão de :