Determine os valores máximo e mínimo locais e globais de nos seus respectivos intervalos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa encontrar os valores máximos e mínimos, tanto locais quanto globais, da função dentro de certos intervalos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar onde a função alcança esses extremos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto e é essencial para identificar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.

Passo 3

Depois de obter a derivada , igualamos ela a zero para encontrar os pontos críticos:
Esses pontos são candidatos a ser máximos ou mínimos locais.

Passo 4

Com os valores de que fazem , vamos verificar se realmente são máximos ou mínimos. Podemos usar o Teste da Segunda Derivada:
  • Se , então tem um mínimo local em .
  • Se , então tem um máximo local em .

Passo 5

Além dos pontos críticos, precisamos verificar os valores da função nas extremidades do intervalo dado. Às vezes, os máximos ou mínimos globais ocorrem nesses pontos.

Passo 6

Agora, com todos os candidatos (pontos críticos e extremidades do intervalo), comparamos os valores de nesses pontos para determinar qual é o máximo e o mínimo global:
  • O maior valor encontrado será o máximo global.
  • O menor valor encontrado será o mínimo global.

Resposta

Seguindo esses passos, você consegue identificar os valores máximos e mínimos locais e globais da função nos intervalos especificados. Lembre-se de sempre verificar tanto os pontos críticos quanto as extremidades dos intervalos para garantir que encontrou todos os extremos.

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Se , e têm derivadas de todas as ordens, mostre que .
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