Determine os valores máximo e mínimo locais e globais de
nos seus respectivos intervalos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa encontrar os valores máximos e mínimos, tanto locais quanto globais, da função
dentro de certos intervalos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar onde a função alcança esses extremos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto e é essencial para identificar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Passo 3
Depois de obter a derivada
, igualamos ela a zero para encontrar os pontos críticos:
Esses pontos são candidatos a ser máximos ou mínimos locais.
Passo 4
Com os valores de
que fazem
, vamos verificar se realmente são máximos ou mínimos. Podemos usar o Teste da Segunda Derivada:
- Se
, então tem um mínimo local em . - Se
, então tem um máximo local em .
Passo 5
Além dos pontos críticos, precisamos verificar os valores da função nas extremidades do intervalo dado. Às vezes, os máximos ou mínimos globais ocorrem nesses pontos.
Passo 6
Agora, com todos os candidatos (pontos críticos e extremidades do intervalo), comparamos os valores de
nesses pontos para determinar qual é o máximo e o mínimo global:
- O maior valor encontrado será o máximo global.
- O menor valor encontrado será o mínimo global.
Resposta
Seguindo esses passos, você consegue identificar os valores máximos e mínimos locais e globais da função
nos intervalos especificados. Lembre-se de sempre verificar tanto os pontos críticos quanto as extremidades dos intervalos para garantir que encontrou todos os extremos.
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Se
,
e
têm derivadas de todas as ordens, mostre que
.
Usando a Regra de L