Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que envolve uma função chamada . A função é definida de forma diferente dependendo do valor de . Isso se chama função definida por partes. Para entender e resolver esse tipo de função, precisamos analisar cada parte dela individualmente e ver como elas se comportam em diferentes intervalos de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as três partes da função e os intervalos em que cada uma delas é válida:
  1. Para :
    Aqui, a função é um polinômio simples onde adicionamos 1 ao quadrado de .
  2. Para :
    Nesta parte, a função é uma linha reta que começa em 2 e diminui conforme aumenta.
  3. Para :
    Aqui, temos outro polinômio onde subtraímos 2 de e depois elevamos o resultado ao quadrado.

Passo 3

Agora, vamos entender o que cada parte da função representa:
  • para :
    Este é um parabola que está sempre acima de 1 porque é sempre positivo ou zero. Quando , .
  • para :
    Essa é uma linha reta que começa em com e desce até , onde .
  • para :
    Esse é outro parabola que tem seu ponto mínimo em , onde , e aumenta conforme cresce além de 2.

Passo 4

Vamos visualizar isso para entender melhor. Imagine desenhar cada parte em seu respectivo intervalo:
  1. Para :
    Desenhamos a parábola começando de e indo para a esquerda.
  2. Para :
    Desenhamos a linha reta que desce de até .
  3. Para :
    Desenhamos a parábola começando de e indo para a direita.

Passo 5

Finalmente, juntando todas as partes, temos uma função contínua que passa suavemente de uma parte para a outra nos pontos onde as definições mudam (nos e ).

Resposta

Assim, a função é uma função definida por partes que combina duas parábolas e uma linha reta para diferentes intervalos de , criando um gráfico contínuo que se comporta de maneira diferente dependendo de onde está situado.

Exercícios relacionados

Se , e têm derivadas de todas as ordens, mostre que .
Determine os valores máximo e mínimo locais e globais de nos seus respectivos intervalos.