Se , e têm derivadas de todas as ordens, mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é o produto de duas outras funções, ou seja, . Nosso objetivo aqui é mostrar como calcular a segunda derivada dessa função , usando as regras de derivação que aprendeu. Para isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e entender como derivar duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como tirar a primeira derivada de . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Em fórmula:

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada, vamos para a segunda derivada . Precisamos derivar novamente. Então, vamos derivar cada termo separadamente:

Passo 4

Vamos derivar o primeiro termo . Usamos de novo a regra do produto:

Passo 5

Agora, derivamos o segundo termo :

Passo 6

Juntando os dois resultados, temos:

Passo 7

Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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