Se
,
e
têm derivadas de todas as ordens, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é o produto de duas outras funções, ou seja,
. Nosso objetivo aqui é mostrar como calcular a segunda derivada dessa função
, usando as regras de derivação que aprendeu. Para isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e entender como derivar duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como tirar a primeira derivada de
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Em fórmula:
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada, vamos para a segunda derivada
. Precisamos derivar
novamente. Então, vamos derivar cada termo separadamente:
Passo 4
Vamos derivar o primeiro termo
. Usamos de novo a regra do produto:
Passo 5
Agora, derivamos o segundo termo
:
Passo 6
Juntando os dois resultados, temos:
Passo 7
Simplificando os termos semelhantes:
Resposta
Portanto, mostramos que: