Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f no conjunto D , onde
f(x, y) = x^2 + y^2 - 2y + 1
e D é a região D = {(x, y) | x^2 + y^2 <= 4}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar os valores máximos e mínimos da função dentro da região , que é um círculo com raio 2, já que . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente encontrar pontos críticos e analisar a função na fronteira da região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora vamos verificar se esse ponto está dentro da região . Substituindo e na equação da região:
Sim, o ponto está dentro de .

Passo 4

Vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:
Então, .

Passo 5

Agora, precisamos analisar a função na fronteira da região , que é o círculo . Para simplificar, podemos usar coordenadas polares, onde e , já que o raio é 2.
Substituindo na função:

Passo 6

Agora, queremos encontrar o máximo e o mínimo de . Sabemos que varia entre -1 e 1.
á
í
Então, o valor mínimo na fronteira é 1 e o máximo é 9.

Passo 7

Finalmente, comparamos os valores obtidos:
  • Ponto crítico dentro de :
  • Na fronteira: mínimo = 1, máximo = 9
O menor valor absoluto é 0 e o maior valor absoluto é 9.

Resposta

O valor mínimo absoluto de em é 0 e o valor máximo absoluto é 9.

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