Determine os valores máximos e mínimos absolutos de
no conjunto D , onde
e
é a região
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar os valores máximos e mínimos da função
dentro da região
, que é um círculo com raio 2, já que
. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente encontrar pontos críticos e analisar a função na fronteira da região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região
. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora vamos verificar se esse ponto está dentro da região
. Substituindo
e
na equação da região:
Sim, o ponto
está dentro de
.
Passo 4
Vamos calcular o valor da função
nesse ponto crítico:
Então,
.
Passo 5
Agora, precisamos analisar a função na fronteira da região
, que é o círculo
. Para simplificar, podemos usar coordenadas polares, onde
e
, já que o raio é 2.
Substituindo na função:
Passo 6
Agora, queremos encontrar o máximo e o mínimo de
. Sabemos que
varia entre -1 e 1.
Então, o valor mínimo na fronteira é 1 e o máximo é 9.
Passo 7
Finalmente, comparamos os valores obtidos:
- Ponto crítico dentro de
: - Na fronteira: mínimo = 1, máximo = 9
O menor valor absoluto é 0 e o maior valor absoluto é 9.
Resposta
O valor mínimo absoluto de
em
é 0 e o valor máximo absoluto é 9.
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. Mostre que
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