Seja f(x)=ll|x^2-5 x+4|x-1, & se x<1 a x+b, & se 1 <= x <= 2 raizx-raiz2+raizx-2raizx^2-4, & se x>2.
(b) Determine o domínio de f2(x)=raizx-raiz2+raizx-2raizx^2-4 e analise lim x 2 f2(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada f2(x)=raizx-raiz2+raizx-2raizx^2-4 definida por:
O que a gente precisa fazer aqui é duas coisas:
  1. Determinar o domínio de – ou seja, descobrir para quais valores de essa função está “valendo”.
  2. Analisar o limite de quando se aproxima de 2.
Vamos precisar usar conceitos de raízes quadradas, frações e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio de . O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida.
Olha só, temos duas condições que a gente precisa verificar:
  1. Raízes quadradas no numerador: A expressão dentro de uma raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo (no conjunto dos números reais).
  2. Denominador diferente de zero: A gente não pode dividir por zero, então o denominador tem que ser diferente de zero.
Vamos analisar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Condições das raízes quadradas:
  • Para x^2 - 4 >= 0 : Temos que x^2 >= 4 Rightarrow x <= -2 ou x >= 2 .
  • Para raizx^2 - 4 neq 0 Rightarrow x^2 - 4 neq 0 Rightarrow x neq pm 2 : Precisamos que ou seja, .
Como ambas as condições precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo, a partir dessas duas, temos que .
2. Denominador diferente de zero:
A expressão no denominador é . Para que essa raiz seja real, o que está dentro dela também deve ser maior ou igual a zero:
Resolvendo essa desigualdade:
Mas já vimos que pela condição anterior. Além disso, precisamos que o denominador não seja zero:
Como estamos considerando , a única exclusão é .

Passo 4

Juntando tudo, o domínio de x >= 2 e x neq 2 Rightarrow x > 2 é:
Então, está definido para todos os maiores que 2.

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de limx to 2 raizx-raiz2+raizx-2raizx^2-4 quando se aproxima de 2:
Aqui, se simplesmente substituirmos , tanto o numerador quanto o denominador vão pra zero, o que gera uma indeterminação do tipo . Para resolver isso, vamos simplificar a expressão.

Passo 6

Vamos reescrever o denominador:
raizx^2 - 4 = raiz(x-2)(x+2)
Então, a expressão fica:
raizx-raiz2+raizx-2raiz(x-2)(x+2)
Podemos notar que está se aproximando de 2, então é bem pequeno. Vamos tentar simplificar o numerador.

Passo 7

Vamos separar o numerador:
raizx - raiz2 + raizx-2 = (raizx - raiz2) + raizx-2
Usando a técnica de racionalizar para raizx - raiz2 = (raizx - raiz2)(raizx + raiz2)raizx + raiz2 = x - 2raizx + raiz2 :
x - 2raizx + raiz2 + raizx-2raiz(x-2)(x+2)
Então, temos:

Passo 8

Vamos fatorar (x - 2)(1raizx + raiz2) + raizx-2raiz(x-2)(x+2) no numerador:
raizx-2 ( raizx-2raizx + raiz2 + 1 )raiz(x-2)(x+2)
Podemos fatorar raizx-2raizx + raiz2 + 1raizx+2 de cada termo:
Simplificando, o cancela com parte do denominador:

Passo 9

Agora, podemos substituir limx to 2 raizx-2raizx + raiz2 + 1raizx+2 = raiz0raiz2 + raiz2 + 1raiz4 = 0 + 12 = 12 por 2:

Resposta

O domínio de é e o limite de quando se aproxima de 2 é .

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