(3,0) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
f(x, y) = x^4 + y^4 - 7*x^2 - 1*y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função . Para isso, vamos usar conceitos de calculo multivariado, especificamente derivadas parciais e o teste da derivada segunda para identificar a natureza dos pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. São os pontos onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, encontramos os pontos onde e :
Para :
Isso nos dá as soluções:
Para :
Isso nos dá as soluções:

Passo 4

Combinando as soluções de e , os pontos críticos são:

Passo 5

Agora, vamos usar o teste da derivada segunda para determinar a natureza de cada ponto crítico. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:

Passo 6

Vamos avaliar e em cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
    Como e , esse ponto é um máximo local.
  2. Pontos :
    Como e , esses pontos são mínimos locais.

Passo 7

Não temos mais pontos críticos para analisar além dos listados. Portanto, concluímos que:
  • O ponto é um máximo local.
  • Os pontos são mínimos locais.
  • Não há pontos de sela para essa função.

Resposta

A função possui:
  • Um máximo local no ponto .
  • Quatro mínimos locais nos pontos , , e .
  • Não há pontos de sela.

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