Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. Para isso, vamos usar conceitos de calculo multivariado, especificamente derivadas parciais e o teste da derivada segunda para identificar a natureza dos pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. São os pontos onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, encontramos os pontos onde
e
:
Para
:
Isso nos dá as soluções:
Para
:
Isso nos dá as soluções:
Passo 4
Combinando as soluções de
e
, os pontos críticos são:
Passo 5
Agora, vamos usar o teste da derivada segunda para determinar a natureza de cada ponto crítico. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
O determinante da matriz Hessiana
é dado por:
Passo 6
Vamos avaliar
e
em cada ponto crítico:
-
Ponto (0, 0):Como
e , esse ponto é um máximo local. -
Pontos
: Comoe , esses pontos são mínimos locais.
Passo 7
Não temos mais pontos críticos para analisar além dos listados. Portanto, concluímos que:
- O ponto
é um máximo local. - Os pontos
são mínimos locais. - Não há pontos de sela para essa função.
Resposta
A função
possui:
- Um máximo local no ponto
. - Quatro mínimos locais nos pontos
, , e . - Não há pontos de sela.
Exercícios relacionados
Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio.