Uma pessoa no ponto
deseja caminhar na direção que a temperatura cresce mais rapidamente. Encontre a direção e a expresse como vetor unitário.
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde uma pessoa está no ponto
e quer caminhar na direção onde a temperatura aumenta mais rápido. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como ele indica a direção de maior aumento de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o gradiente de uma função temperatura
é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
. Esse vetor é dado por:
No enunciado, temos a informação
, que podemos interpretar como o gradiente da temperatura no ponto
. Então, o gradiente é
.
Passo 3
Agora, para encontrar a direção que a pessoa deve seguir, queremos um vetor unitário na direção do gradiente. Um vetor unitário tem comprimento igual a 1 e é obtido dividindo o vetor original pelo seu módulo (ou magnitude).
Passo 4
Calculamos o módulo do gradiente:
Como o módulo já é 1, o vetor gradiente
já é um vetor unitário.
Resposta
A direção na qual a temperatura cresce mais rapidamente, expressa como vetor unitário, é
.
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Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio.
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