Primeira identidade de Green:
ointpartial Omega phi nabla psi cdot d S=integralOmega(nabla phi cdot nabla psi+phi nabla^2 psi) d^3 x
onde Omega é um volume limitado por uma superfície partial Omega.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me enviou é uma identidade matemática conhecida como a Primeira Identidade de Green. Essa identidade faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente dentro das identidades de Green, que são ferramentas poderosas para relacionar integrais de superfície com integrais de volume. Para resolver e entender essa identidade, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que conecta integrais de fluxo sobre uma superfície fechada com integrais de divergência dentro do volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que para qualquer campo vetorial ointpartial Omega F cdot dS = integralOmega nabla cdot F , dV , a integral do fluxo de através da superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume . Matematicamente, isso é expresso como:

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teorema à identidade que queremos provar. Na nossa identidade de Green, temos F = phi nabla psi desempenhando o papel do campo vetorial . Ou seja, vamos definir:

Passo 4

Com essa definição, a integral de superfície fica:
ointpartial Omega phi nabla psi cdot dS
Segundo o Teorema da Divergência, isso é igual à integral da divergência de sobre o volume . Então, precisamos calcular .

Passo 5

Vamos calcular a divergência de nabla cdot (phi nabla psi) = nabla phi cdot nabla psi + phi nabla^2 psi . Usando a regra do produto para divergência, temos:
Aqui, é o Laplaciano de , que é a soma das segundas derivadas parciais de .

Passo 6

Substituindo de volta na integral de volume, temos:
ointpartial Omega phi nabla psi cdot dS = integralOmega ( nabla phi cdot nabla psi + phi nabla^2 psi ) d^3x
Isso confirma a identidade que queríamos mostrar.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
ointpartial Omega phi nabla psi cdot d S = integralOmega ( nabla phi cdot nabla psi + phi nabla^2 psi ) d^3x

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