Derive.
a)
.
a)
Passo 1
Vamos lá, amigo! O enunciado pede para derivar a função
. O conteúdo que estamos tratando aqui é o cálculo de derivadas, e para isso vamos precisar da regra da cadeia e das derivadas conhecidas das funções seno e tangente. A regra da cadeia é uma ferramenta que usamos quando temos uma função dentro de outra, e ela nos ajuda a derivar corretamente.
Passo 2
Para derivar
, vamos usar a regra da cadeia. Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão envolvidas:
- A função externa é
, onde . - E a função interna é
, onde .
Agora, a derivada da função seno é
.
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada de cada parte:
-
Começamos pela derivada da função externa, que é
: -
Em seguida, vamos derivar a nossa função interna
, onde . A derivada da tangente é: -
E, por fim, precisamos derivar
, que é bastante simples:
Agora, aplicando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Vamos substituir de volta as expressões que usamos para
e
:
- Lembrando que
e , temos que a secante é o recíproco do cosseno, ou seja, .
Portanto, a derivada completa fica assim:
Resposta
Assim, a derivada da função
é: