Derive.
a) y=sen(tg(2 x)).

Passo 1

Vamos lá, amigo! O enunciado pede para derivar a função y = sen(tg(2x)). O conteúdo que estamos tratando aqui é o cálculo de derivadas, e para isso vamos precisar da regra da cadeia e das derivadas conhecidas das funções seno e tangente. A regra da cadeia é uma ferramenta que usamos quando temos uma função dentro de outra, e ela nos ajuda a derivar corretamente.

Passo 2

Para derivar y = sen(tg(2x)), vamos usar a regra da cadeia. Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão envolvidas:
  • A função externa é u = sen(v), onde v = tg(2x).
  • E a função interna é v = tg(u), onde u = 2x.
Agora, a derivada da função seno é ddx(sen(v)) = cos(v) cdot dvdx.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de cada parte:
  1. Começamos pela derivada da função externa, que é sen(v):
    dydv = cos(v)
  2. Em seguida, vamos derivar a nossa função interna v = tg(w), onde w = 2x. A derivada da tangente é:
    dvdw = sec^2(w)
  3. E, por fim, precisamos derivar w = 2x, que é bastante simples:
    dwdx = 2
Agora, aplicando a regra da cadeia, temos:
dydx = dydv cdot dvdw cdot dwdx = cos(v) cdot sec^2(w) cdot 2

Passo 4

Vamos substituir de volta as expressões que usamos para v e w:
  • Lembrando que v = tg(2x) e w = 2x, temos que a secante é o recíproco do cosseno, ou seja, sec^2(w) = 1cos^2(2x).
Portanto, a derivada completa fica assim:
dydx = cos(tg(2x)) cdot 1cos^2(2x) cdot 2

Resposta

Assim, a derivada da função y = sen(tg(2x)) é:
dydx = 2 cdot cos(tg(2x))cos^2(2x)

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