Determine para quais valores de x cada função a seguir está definida: y = arccos(e^x * 5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir para quais valores de a função está definida. Isso envolve entender o que é a função arco cosseno e quais valores ela aceita. Vamos precisar lembrar que a função só funciona se o valor dentro dela estiver entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que está dentro do arco cosseno: . A função exponencial sempre dá um número positivo, porque elevado a qualquer potência é positivo. Então, também é sempre positivo.

Passo 3

Agora, para a função estar definida, o que está dentro dela precisa ser entre e . Então, a gente monta a seguinte desigualdade:
Mas como sempre é positivo, a parte já é sempre verdadeira. Então, a gente só precisa se preocupar com:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa desigualdade para . Primeiro, dividimos os dois lados por :

Passo 5

Para resolver para , tiramos o logaritmo natural dos dois lados. O logaritmo natural, , é a função inversa de :
E sabemos que , então:

Resposta

A função está definida para todos os valores de que satisfazem .

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