Determine os valores de x e y para que a matriz A=17[ccc2 & 6 & x 3 & 2 & y 6 & -3 & 2] seja ortogonal, ou seja, A^-1=A^t.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A = 17 2 & 6 & x 3 & 2 & y 6 & -3 & 2 dada por:
O objetivo é encontrar os valores de e para que essa matriz seja ortogonal. Uma matriz ortogonal tem a propriedade que seu inverso é igual à sua transposta, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender o que é uma matriz ortogonal.
  • Saber como calcular a transposta e o inverso de uma matriz.
  • Utilizar propriedades de matrizes para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser ortogonal. Uma matriz A cdot A^t = I é ortogonal se:
onde é a matriz identidade. Isso significa que, ao multiplicar pela sua transposta, o resultado é uma matriz onde os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0.

Passo 3

Vamos calcular a transposta de A^t = 17 2 & 3 & 6 6 & 2 & -3 x & y & 2 . A transposta é obtida trocando as linhas pelas colunas da matriz original. Então:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar A cdot A^t = ( 17 2 & 6 & x 3 & 2 & y 6 & -3 & 2 ) cdot ( 17 2 & 3 & 6 6 & 2 & -3 x & y & 2 ) = I por ( 17 )^2 (2 cdot 2 + 6 cdot 6 + x cdot x) = 1 e igualar ao identidade 149 (4 + 36 + x^2) = 1 . A multiplicação de duas matrizes é feita somando o produto dos elementos das linhas de uma matriz pelos elementos das colunas da outra.
40 + x^2 = 49
Vamos calcular cada elemento do produto:
Elemento (1,1):
x^2 = 9 Rightarrow x = pm 3
( 17 )^2 (3 cdot 3 + 2 cdot 2 + y cdot y) = 1
149 (9 + 4 + y^2) = 1
13 + y^2 = 49
Elemento (2,2):
y^2 = 36 Rightarrow y = pm 6

Resposta

Os valores que tornam a matriz x = pm 3 e y = pm 6 ortogonal são:

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