Determinar o valor de a para que o Sistema
lx+2 y+a z=1 2 x+a y+8 z=3 x=1
Tenha:
a) Solução única

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado pede para encontrar o valor de que faz com que o sistema tenha uma solução única. Estamos lidando com um sistema linear de três equações e três incógnitas ( , , ). Para isso, vamos precisar entender como resolver sistemas lineares e verificar quando eles têm uma única solução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o sistema que temos:
x + 2y + a z = 1 2x + a y + 8 z = 3 x = 1
A terceira equação já nos dá o valor de , que é 1. Isso facilita nosso trabalho porque podemos substituir nas outras duas equações.

Passo 3

Vamos substituir 1 + 2y + a z = 1 na primeira e na segunda equação:
  1. Na primeira equação:
2y + a z = 0
Subtraindo 1 de ambos os lados:
2(1) + a y + 8 z = 3
  1. Na segunda equação:
2 + a y + 8 z = 3
Simplificando:
a y + 8 z = 1
Subtraindo 2 de ambos os lados:

Passo 4

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas ( 2y + a z = 0 a y + 8 z = 1 e ):
Para que esse sistema tenha uma solução única, o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas ( e ) deve ser diferente de zero.

Passo 5

Vamos formar a matriz dos coeficientes:
2 & a a & 8
O determinante dessa matriz é calculado assim:
Determinante = (2)(8) - (a)(a) = 16 - a^2
Para ter uma solução única, precisamos que:
16 - a^2 neq 0

Passo 6

Resolvendo a inequação:
16 - a^2 neq 0 a^2 neq 16 a neq pm 4
Então, para que o sistema tenha uma solução única, não pode ser 4 nem -4.

Resposta

O valor de deve ser qualquer número diferente de 4 e -4 para que o sistema tenha uma solução única.

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