Determine os valores de para os quais o PVI definido pela EDO e pela condi, crao inicial com certeza tem solu, caao
(b)

Passo 1

Então, a gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) definido pela Equação Diferencial Ordinária (EDO) e pela condição inicial . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de esse PVI certamente tem uma solução. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre existência e unicidade de soluções para EDOs, especificamente utilizando o Teorema de Picard-Lindelöf.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Teorema de Picard-Lindelöf nos diz que, se a função que define a EDO, nesse caso , for contínua e satisfizer uma condição de Lipschitz em uma vizinhança do ponto inicial , então existe uma solução única para o PVI próximo a .

Passo 3

Vamos verificar se é contínua. Sabemos que a função seno é contínua em todo o seu domínio, que é . Então, a condição de continuidade está satisfeita para qualquer valor de .

Passo 4

Agora, precisamos verificar a condição de Lipschitz. Para isso, vamos calcular a derivada de :
Como é limitada por para todo , podemos dizer que satisfaz a condição de Lipschitz com constante de Lipschitz .

Passo 5

Como é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz para todo , o Teorema de Picard-Lindelöf garante que, para qualquer valor inicial , existe uma solução única para o PVI com .

Resposta

Qualquer valor de em garante que o PVI definido por e tenha uma solução única.

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Determine os valores de para os quais o PVI definido pela EDO e pela condi, crao inicial com certeza tem solu, caao
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Determine os valores de para os quais o PVI definido pela EDO e pela condi, crao inicial com certeza tem solu, caao
(a)
Determine os valores de para os quais o PVI definido pela EDO e pela condi, crao inicial com certeza tem solu, caao
(d)
Use separa, c〜ao de varíaveis para encontrar uma solu, c〜ao para o PVI . Encontre outra solu, caao (bem simples) para o mesmo PVI usando sua experīencia. Por que a exist^encia de (ao menos) duas solu, oes ñao viola o teorema da exist^encia e unicidade?