Determine os valores de
para os quais o PVI definido pela EDO
e pela condi, crao inicial
com certeza tem solu, caao
(b)
(b)
Passo 1
Então, a gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) definido pela Equação Diferencial Ordinária (EDO)
e pela condição inicial
. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
esse PVI certamente tem uma solução. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre existência e unicidade de soluções para EDOs, especificamente utilizando o Teorema de Picard-Lindelöf.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Teorema de Picard-Lindelöf nos diz que, se a função que define a EDO, nesse caso
, for contínua e satisfizer uma condição de Lipschitz em uma vizinhança do ponto inicial
, então existe uma solução única para o PVI próximo a
.
Passo 3
Vamos verificar se
é contínua. Sabemos que a função seno é contínua em todo o seu domínio, que é
. Então, a condição de continuidade está satisfeita para qualquer valor de
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a condição de Lipschitz. Para isso, vamos calcular a derivada de
:
Como
é limitada por
para todo
, podemos dizer que
satisfaz a condição de Lipschitz com constante de Lipschitz
.
Passo 5
Como
é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz para todo
, o Teorema de Picard-Lindelöf garante que, para qualquer valor inicial
, existe uma solução única para o PVI
com
.
Resposta
Qualquer valor de
em
garante que o PVI definido por
e
tenha uma solução única.
Exercícios relacionados
Determine os valores de
para os quais o PVI definido pela EDO
e pela condi, crao inicial
com certeza tem solu, caao
©
©
Determine os valores de
para os quais o PVI definido pela EDO
e pela condi, crao inicial
com certeza tem solu, caao
(a)
(a)
Determine os valores de
para os quais o PVI definido pela EDO
e pela condi, crao inicial
com certeza tem solu, caao
(d)
(d)
Use separa, c〜ao de varíaveis para encontrar uma solu, c〜ao para o PVI
. Encontre outra solu, caao (bem simples) para o mesmo PVI usando sua experīencia. Por que a exist^encia de (ao menos) duas solu,
oes ñao viola o teorema da exist^encia e unicidade?