Determine os valores de para os quais o PVI definido pela EDO e pela condi, crao inicial com certeza tem solu, caao
©

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir para quais valores de o Problema de Valor Inicial (PVI) definido pela Equação Diferencial Ordinária (EDO) e pela condição inicial tem certeza de ter solução. A função que estamos trabalhando é . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, que nos ajuda a saber quando uma solução única existe para o PVI.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Picard-Lindelöf. Ele afirma que se a função é contínua em uma vizinhança de e satisfaz uma condição chamada de “Lipschitz contínua” nessa região, então existe uma solução única do PVI passando por .

Passo 3

Então, vamos analisar a função . Precisamos verificar se ela é contínua e se satisfaz a condição de Lipschitz contínua perto de .

Passo 4

A função é contínua para , já que estamos lidando com raízes reais. Mas a questão é a condição de Lipschitz.

Passo 5

Uma função é Lipschitz contínua se existe uma constante tal que para todos e próximos, . Vamos calcular a derivada de para ver se ela está limitada.

Passo 6

A derivada de é . Observamos que quando se aproxima de 0, tende ao infinito, ou seja, não há uma constante que funcione nesse ponto.

Passo 7

Isso significa que a função não é Lipschitz contínua em . Portanto, pelo Teorema de Picard-Lindelöf, não podemos garantir a existência de uma solução única para o PVI quando .

Passo 8

Por outro lado, para , a função é diferenciável e sua derivada é finita, o que garante que seja Lipschitz contínua em torno desses pontos.

Resposta

Os valores de para os quais o PVI tem certeza de ter solução única são todos os positivos, ou seja, .

Exercícios relacionados

Determine os valores de para os quais o PVI definido pela EDO e pela condi, crao inicial com certeza tem solu, caao
(a)
Para comparar a dispersão dos dados do Exercício 3 com a dispersão dos dados do Exercício 4 qual a estatística mais adequada para realizar esta análise? Através dos valores encontrados, compare estas dispersões.
Determine os valores de para os quais o PVI definido pela EDO e pela condi, crao inicial com certeza tem solu, caao
(b)
Determine os valores de para os quais o PVI definido pela EDO e pela condi, crao inicial com certeza tem solu, caao
(d)