Determine os valores de
para os quais o PVI definido pela EDO
e pela condi, crao inicial
com certeza tem solu, caao
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir para quais valores de
o Problema de Valor Inicial (PVI) definido pela Equação Diferencial Ordinária (EDO)
e pela condição inicial
tem certeza de ter solução. A função que estamos trabalhando é
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, que nos ajuda a saber quando uma solução única existe para o PVI.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Picard-Lindelöf. Ele afirma que se a função
é contínua em uma vizinhança de
e satisfaz uma condição chamada de “Lipschitz contínua” nessa região, então existe uma solução única do PVI passando por
.
Passo 3
Então, vamos analisar a função
. Precisamos verificar se ela é contínua e se satisfaz a condição de Lipschitz contínua perto de
.
Passo 4
A função
é contínua para
, já que estamos lidando com raízes reais. Mas a questão é a condição de Lipschitz.
Passo 5
Uma função é Lipschitz contínua se existe uma constante
tal que para todos
e
próximos,
. Vamos calcular a derivada de
para ver se ela está limitada.
Passo 6
A derivada de
é
. Observamos que quando
se aproxima de 0,
tende ao infinito, ou seja, não há uma constante
que funcione nesse ponto.
Passo 7
Isso significa que a função
não é Lipschitz contínua em
. Portanto, pelo Teorema de Picard-Lindelöf, não podemos garantir a existência de uma solução única para o PVI quando
.
Passo 8
Por outro lado, para
, a função
é diferenciável e sua derivada é finita, o que garante que
seja Lipschitz contínua em torno desses pontos.
Resposta
Os valores de
para os quais o PVI tem certeza de ter solução única são todos os
positivos, ou seja,
.
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