Determine os valores de
para os quais o PVI definido pela EDO
e pela condi, crao inicial
com certeza tem solu, caao
(d)
(d)
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente descobrir quais valores de
fazem com que o Problema de Valor Inicial (PVI) definido pela Equação Diferencial Ordinária (EDO)
e pela condição inicial
tenha uma solução certa. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de primeira ordem, também conhecido como Teorema de Picard-Lindelöf. Vamos precisar verificar se a função
satisfaz as condições desse teorema para garantir que a solução existe e é única.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema de Picard-Lindelöf. Esse teorema diz que se a função
e sua derivada em relação a
, ou seja,
, são contínuas em uma região que inclui o ponto inicial
, então existe uma única solução para o PVI perto de
.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso caso. A função que temos é
. Essa é uma função bem simples e contínua em todo o conjunto dos números reais,
. Além disso, a derivada de
é
, que também é contínua em
.
Passo 4
Como tanto
quanto
são contínuas para qualquer valor de
, o Teorema de Picard-Lindelöf garante que, para qualquer valor inicial
, existe uma solução única para o PVI. Não há restrições sobre qual valor de
podemos escolher.
Resposta
Todos os valores de
pertencem a
.
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para os quais o PVI definido pela EDO
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com certeza tem solu, caao
(b)
(b)
Determine os valores de
para os quais o PVI definido pela EDO
e pela condi, crao inicial
com certeza tem solu, caao
©
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Use separa, c〜ao de varíaveis para encontrar uma solu, c〜ao para o PVI
. Encontre outra solu, caao (bem simples) para o mesmo PVI usando sua experīencia. Por que a exist^encia de (ao menos) duas solu,
oes ñao viola o teorema da exist^encia e unicidade?
Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido: (a)
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