Determine a variância de uma variável aleatória X com valores 2,4,6 e probabilidades 0,3,0,4, e 0,3 respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória que pode assumir os valores 2, 4 e 6, com as probabilidades 0,3, 0,4 e 0,3 respectivamente. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a variância dessa variável. Para isso, vamos usar conceitos de estatística básica, como média e variância, e algumas fórmulas matemáticas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média ( mu = sum (xi cdot P(xi)) ) da variável mu = (2 times 0,3) + (4 times 0,4) + (6 times 0,3) . A média é o valor esperado, ou seja, é a soma de cada valor multiplicado pela sua probabilidade. A fórmula é:
Vamos aplicar isso aos nossos valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo:
2 times 0,3 = 0,6
4 times 0,4 = 1,6
6 times 0,3 = 1,8
Somando tudo:
mu = 0,6 + 1,6 + 1,8 = 4,0
Então, a média é 4.

Passo 4

Com a média em mãos, vamos calcular a média dos quadrados ( E[X^2] = sum (xi^2 cdot P(xi)) ). A fórmula é similar à da média:
E[X^2] = (2^2 times 0,3) + (4^2 times 0,4) + (6^2 times 0,3)
Vamos aplicar aos nossos valores:

Passo 5

Calculando cada termo:
2^2 times 0,3 = 4 times 0,3 = 1,2
4^2 times 0,4 = 16 times 0,4 = 6,4
6^2 times 0,3 = 36 times 0,3 = 10,8
Somando:
E[X^2] = 1,2 + 6,4 + 10,8 = 18,4

Passo 6

Finalmente, a variância ( sigma^2 = E[X^2] - (mu)^2 ) é dada por:
sigma^2 = 18,4 - (4)^2 = 18,4 - 16 = 2,4
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

A variância da variável aleatória é 2,4.

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