Determine a velocidade média do escoamento, a partir de um diagrama de velocidades dado por uma função quadrática: Sim = 30y - {{y}^{2}}">. Supor que a área da seção transversal ao escoamento é dada por. Imagem Com base no texto assinale a alternativa correta. Escolha uma: a. B. C. D. E. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a velocidade média do escoamento usando um diagrama de velocidades que é uma função quadrática: $ v(y) = 30y - y^2 $. Além disso, temos que considerar a área da seção transversal por onde o fluido está passando. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre fluxo de fluidos e como calcular a velocidade média usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade média ($ v_{médio} $) do escoamento pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
- $ Q $ é o fluxo volumétrico.
- $ A $ é a área da seção transversal.
Passo 3
Agora, para encontrar o fluxo volumétrico ($ Q $), precisamos integrar a função de velocidade sobre toda a área da seção transversal. Isso significa que vamos somar todas as velocidades em cada ponto da área.
Então, a fórmula para $ Q $ é:
Neste caso, como a velocidade depende apenas de $ y $, podemos simplificar a integral.
Passo 4
Vamos assumir que a seção transversal é retangular com largura $ b $ e altura $ h $. Então, a área $ A $ é:
E a integral para $ Q $ fica:
Onde $ y $ varia de 0 a $ h $.
Passo 5
Substituindo a função de velocidade $ v(y) = 30y - y^2 $ na integral, temos:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, vamos integrar $ 30y $:
Depois, integrar $ -y^2 $:
Então, a integral completa é:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa expressão de $ y = 0 $ a $ y = h $:
Simplificando:
Passo 8
Agora, podemos encontrar a velocidade média usando a fórmula inicial:
Resposta
A velocidade média do escoamento é $ v_{médio} = 15h - \frac{h^2}{3} $.