Determine a velocidade média do escoamento, a partir de um diagrama de velocidades dado por uma função quadrática: Sim = 30y - {{y}^{2}}">. Supor que a área da seção transversal ao escoamento é dada por. Imagem Com base no texto assinale a alternativa correta. Escolha uma: a. B. C. D. E. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a velocidade média do escoamento usando um diagrama de velocidades que é uma função quadrática: $ v(y) = 30y - y^2 $. Além disso, temos que considerar a área da seção transversal por onde o fluido está passando. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre fluxo de fluidos e como calcular a velocidade média usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade média ($ v_{médio} $) do escoamento pode ser calculada usando a fórmula:
vmédio é
Onde:
  • $ Q $ é o fluxo volumétrico.
  • $ A $ é a área da seção transversal.

Passo 3

Agora, para encontrar o fluxo volumétrico ($ Q $), precisamos integrar a função de velocidade sobre toda a área da seção transversal. Isso significa que vamos somar todas as velocidades em cada ponto da área.
Então, a fórmula para $ Q $ é:
Q
Neste caso, como a velocidade depende apenas de $ y $, podemos simplificar a integral.

Passo 4

Vamos assumir que a seção transversal é retangular com largura $ b $ e altura $ h $. Então, a área $ A $ é:
b
E a integral para $ Q $ fica:
h
Onde $ y $ varia de 0 a $ h $.

Passo 5

Substituindo a função de velocidade $ v(y) = 30y - y^2 $ na integral, temos:
v(y) = 30y - y^2
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, vamos integrar $ 30y $:
30y
Depois, integrar $ -y^2 $:
integral 30y , dy = 15y^2
Então, a integral completa é:
-y^2

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão de $ y = 0 $ a $ y = h $:
y = 0
Simplificando:
y = h

Passo 8

Agora, podemos encontrar a velocidade média usando a fórmula inicial:
vmédio = QA = b (15h^2 - h^33)b times h = 15h^2 - h^33h = 15h - h^23 é

Resposta

A velocidade média do escoamento é $ v_{médio} = 15h - \frac{h^2}{3} $.

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