Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados. Em seguida, determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o vetor gradiente da função no ponto . Depois, precisamos descobrir a taxa de variação dessa função em na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o gradiente de uma função e como usar esse gradiente para achar a taxa de variação direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o vetor gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Então, temos:
No ponto , substituindo e :
Então, o vetor gradiente em é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a taxa de variação de em na direção do vetor . A taxa de variação direcional é obtida pelo produto escalar entre o gradiente e a direção do vetor unitário na direção de .
Primeiro, vamos normalizar o vetor :
Então, o vetor unitário na direção de é:
Agora, calculamos o produto escalar do gradiente com :
Resposta
A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é igual a 0.