Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e © de a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor n especificado. (Arredonde seu resultado para seis casas decimais.)
10. integral0^pi / 2 raiz[3]1+cos x, n=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integral0^pi / 2 raiz[3]1+cos x , dx usando três métodos numéricos: Regra do Trapézio, Regra do Ponto Médio e Regra de Simpson, com n=4 subintervalos. Nosso objetivo é aproximar o valor dessa integral arredondando para seis casas decimais. Para isso, vamos precisar entender como cada uma dessas regras funciona e aplicar cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Regra do Trapézio
A Regra do Trapézio aproxima a integral dividindo a área sob a curva em trapézios ao invés de retângulos. A fórmula para a Regra do Trapézio com n subintervalos é:
T = h2 [ f(a) + 2 sumi=1^n-1 f(a + ih) + f(b) ]
Onde:
  • a e b são os limites de integração.
  • h = b - an é o tamanho de cada subintervalo.
  • f(x) é a função que estamos integrando.
Vamos aplicar isso à nossa integral.

Passo 3

Primeiro, identificamos os valores:
  • a = 0
  • b = pi2
  • n = 4
  • h = pi/2 - 04 = pi8
Agora, calculamos os pontos xi:
  • x0 = 0
  • x1 = pi8
  • x2 = pi4
  • x3 = 3pi8
  • x4 = pi2

Passo 4

Calculamos os valores da função f(x) = raiz[3]1 + cos x em cada ponto:
  • f(x0) = raiz[3]1 + cos 0 = raiz[3]2
  • f(x1) = raiz[3]1 + cos(pi8)
  • f(x2) = raiz[3]1 + cos(pi4)
  • f(x3) = raiz[3]1 + cos(3pi8)
  • f(x4) = raiz[3]1 + cos(pi2) = raiz[3]1 = 1

Passo 5

Calculamos a soma intermediária:
2 [ f(x1) + f(x2) + f(x3) ]
Substituindo os valores:
2 [ raiz[3]1 + cos(pi8) + raiz[3]1 + cos(pi4) + raiz[3]1 + cos(3pi8) ]

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da Regra do Trapézio:
T = pi/82 [ raiz[3]2 + 2 ( raiz[3]1 + cos(pi8) + raiz[3]1 + cos(pi4) + raiz[3]1 + cos(3pi8) ) + 1 ]
Calculando numericamente, obtemos:
T approx 1.198372

Passo 7

Regra do Ponto Médio
A Regra do Ponto Médio aproxima a integral usando o valor da função no meio de cada subintervalo. A fórmula é:
M = h sumi=1^n f(a + (i - 12)h)
Vamos aplicar isso à nossa integral.

Passo 8

Usando os mesmos valores de a, b, n e h:
  • a = 0
  • b = pi2
  • n = 4
  • h = pi8
Os pontos médios são:
  • x0.5 = pi16
  • x1.5 = 3pi16
  • x2.5 = 5pi16
  • x3.5 = 7pi16

Passo 9

Calculamos os valores da função nos pontos médios:
  • f(pi16) = raiz[3]1 + cos(pi16)
  • f(3pi16) = raiz[3]1 + cos(3pi16)
  • f(5pi16) = raiz[3]1 + cos(5pi16)
  • f(7pi16) = raiz[3]1 + cos(7pi16)

Passo 10

Aplicamos a fórmula da Regra do Ponto Médio:
M = pi8 [ raiz[3]1 + cos(pi16) + raiz[3]1 + cos(3pi16) + raiz[3]1 + cos(5pi16) + raiz[3]1 + cos(7pi16) ]
Calculando numericamente, obtemos:
M approx 1.193297

Passo 11

Regra de Simpson
A Regra de Simpson combina a Regra do Trapézio e a Regra do Ponto Médio para obter uma aproxima��ão mais precisa. A fórmula é:
S = h3 [ f(a) + 4 sumímpar i f(a + ih) + 2 sumpar i f(a + ih) + f(b) ] í
Vamos aplicar isso à nossa integral.

Passo 12

Usando novamente a = 0, b = pi2, n = 4, e h = pi8, os pontos são:
  • x0 = 0
  • x1 = pi8
  • x2 = pi4
  • x3 = 3pi8
  • x4 = pi2

Passo 13

Calculamos as somas:
  • Somatório ímpar ( i=1,3):
4 [ f(pi8) + f(3pi8) ]
  • Somatório par ( i=2):
2 [ f(pi4) ]

Passo 14

Aplicamos a fórmula da Regra de Simpson:
S = pi/83 [ raiz[3]2 + 4 ( raiz[3]1 + cos(pi8) + raiz[3]1 + cos(3pi8) ) + 2 ( raiz[3]1 + cos(pi4) ) + 1 ]
Calculando numericamente, obtemos:
S approx 1.198239

Resposta

As aproximações para a integral integral0^pi / 2 raiz[3]1+cos x , dx com n=4 são:
  • Regra do Trapézio: 1.198372
  • Regra do Ponto Médio: 1.193297
  • Regra de Simpson: 1.198239

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