Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e © de a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor
especificado. (Arredonde seu resultado para seis casas decimais.)
10.
10.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
usando três métodos numéricos: Regra do Trapézio, Regra do Ponto Médio e Regra de Simpson, com
subintervalos. Nosso objetivo é aproximar o valor dessa integral arredondando para seis casas decimais. Para isso, vamos precisar entender como cada uma dessas regras funciona e aplicar cada uma delas passo a passo.
Passo 2
Regra do Trapézio
A Regra do Trapézio aproxima a integral dividindo a área sob a curva em trapézios ao invés de retângulos. A fórmula para a Regra do Trapézio com
subintervalos é:
Onde:
-
e são os limites de integração. -
é o tamanho de cada subintervalo. -
é a função que estamos integrando.
Vamos aplicar isso à nossa integral.
Passo 3
Primeiro, identificamos os valores:
Agora, calculamos os pontos
:
Passo 4
Calculamos os valores da função
em cada ponto:
Passo 5
Calculamos a soma intermediária:
Substituindo os valores:
Passo 6
Finalmente, aplicamos a fórmula da Regra do Trapézio:
Calculando numericamente, obtemos:
Passo 7
Regra do Ponto Médio
A Regra do Ponto Médio aproxima a integral usando o valor da função no meio de cada subintervalo. A fórmula é:
Vamos aplicar isso à nossa integral.
Passo 8
Usando os mesmos valores de
,
,
e
:
Os pontos médios são:
Passo 9
Calculamos os valores da função nos pontos médios:
Passo 10
Aplicamos a fórmula da Regra do Ponto Médio:
Calculando numericamente, obtemos:
Passo 11
Regra de Simpson
A Regra de Simpson combina a Regra do Trapézio e a Regra do Ponto Médio para obter uma aproxima��ão mais precisa. A fórmula é:
Vamos aplicar isso à nossa integral.
Passo 12
Usando novamente
,
,
, e
, os pontos são:
Passo 13
Calculamos as somas:
- Somatório ímpar (
):
- Somatório par (
):
Passo 14
Aplicamos a fórmula da Regra de Simpson:
Calculando numericamente, obtemos:
Resposta
As aproximações para a integral
com
são:
- Regra do Trapézio:
- Regra do Ponto Médio:
- Regra de Simpson: