Determine um vetor normal ao plano:
d) alpha:lx=1+t+h y=1-t+2 h, h, t in R z=h

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar um vetor normal ao plano dado pelas equações paramétricas:
alpha: x = 1 + t + h y = 1 - t + 2h z = h
Aqui, e são parâmetros que pertencem aos números reais ( ). O conteúdo que vamos usar envolve vetores no espaço e produto vetorial para encontrar esse vetor normal. Vamos precisar identificar dois vetores que estão no plano e depois calcular o produto vetorial entre eles, que dará o vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano. Para isso, podemos variar os parâmetros x = 1 + t y = 1 - t z = 0 e v = 1 -1 0 de forma independente.
  • Vetor x = 1 + h y = 1 + 2h z = h quando w = 1 2 1 :
    Se , as equações ficam:
    Isso nos dá o vetor de direção:
  • Vetor quando :
    Se , as equações ficam:
    Isso nos dá o vetor de direção:

Passo 3

Agora que temos dois vetores que estão no plano ( v times w = i & j & k 1 & -1 & 0 1 & 2 & 1 e i cdot (-1 cdot 1 - 0 cdot 2) - j cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + k cdot (1 cdot 2 - (-1) cdot 1) ), podemos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de = i cdot (-1) - j cdot (1) + k cdot (2 + 1) vai nos dar um vetor que é perpendicular a ambos, ou seja, normal ao plano.
Vamos calcular:
= -i - j + 3k
Calculando o determinante:
n = -1 -1 3
Portanto, o vetor normal é:

Resposta

Um vetor normal ao plano é -1 -1 3 .

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