Justificar porque um sistema linear homogêneo de equações e incógnitas tem uma única solução se .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos um sistema linear homogêneo com equações e incógnitas, onde . Precisamos justificar por que esse sistema possui uma única solução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um sistema linear homogêneo. É um sistema onde todas as equações são iguais a zero. Matemáticamente, fica assim:
Passo 3
Em qualquer sistema homogêneo, sempre existe pelo menos a solução trivial, onde todas as incógnitas são iguais a zero:
x1 = x2 = cdots = xn = 0
Mas queremos mostrar que essa é a única solução.
Passo 4
Para que a solução trivial seja a única, é necessário que as equações sejam independentes e que não existam variáveis livres. Isto está relacionado ao conceito de posto da matriz dos coeficientes do sistema.
Passo 5
A matriz dos coeficientes desse sistema é uma matriz . O posto de uma matriz é o maior número de colunas que são linearmente independentes. Quando , o maior posto que essa matriz pode ter é .
Passo 6
Se o posto da matriz for igual a , isso significa que todas as colunas são linearmente independentes, ou seja, não existem soluções não triviais para o sistema. Portanto, a única solução possível é a trivial.
Passo 7
Assim, quando temos e a matriz dos coeficientes tem posto , o sistema homogêneo não possui soluções não triviais. Ou seja, a única solução é a trivial.
Resposta
Portanto, um sistema linear homogêneo com equações e incógnitas tem uma única solução (a solução trivial) se .