Justificar porque um sistema linear homogêneo de m equações e n incógnitas tem uma única solução se n.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos um sistema linear homogêneo com equações e incógnitas, onde . Precisamos justificar por que esse sistema possui uma única solução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um sistema linear homogêneo. É um sistema onde todas as equações são iguais a zero. Matemáticamente, fica assim:
a11x1 + a12x2 + cdots + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + cdots + a2nxn = 0 vdots am1x1 + am2x2 + cdots + amnxn = 0

Passo 3

Em qualquer sistema homogêneo, sempre existe pelo menos a solução trivial, onde todas as incógnitas são iguais a zero:
x1 = x2 = cdots = xn = 0
Mas queremos mostrar que essa é a única solução.

Passo 4

Para que a solução trivial seja a única, é necessário que as equações sejam independentes e que não existam variáveis livres. Isto está relacionado ao conceito de posto da matriz dos coeficientes do sistema.

Passo 5

A matriz dos coeficientes desse sistema é uma matriz . O posto de uma matriz é o maior número de colunas que são linearmente independentes. Quando , o maior posto que essa matriz pode ter é .

Passo 6

Se o posto da matriz for igual a , isso significa que todas as colunas são linearmente independentes, ou seja, não existem soluções não triviais para o sistema. Portanto, a única solução possível é a trivial.

Passo 7

Assim, quando temos e a matriz dos coeficientes tem posto , o sistema homogêneo não possui soluções não triviais. Ou seja, a única solução é a trivial.

Resposta

Portanto, um sistema linear homogêneo com equações e incógnitas tem uma única solução (a solução trivial) se .

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