Determine um vetor ortogonal aos vetores e , de modo que sua projeção ortogonal sobre seja igual a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores e . Além disso, a projeção ortogonal de sobre deve ser igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como produtos vetoriais e projeções.

Passo 2

Primeiro, como deve ser ortogonal a e , ela precisa estar no espaço que é perpendicular a ambos. Na álgebra linear, o vetor que é perpendicular a dois vetores e pode ser encontrado usando o produto vetorial. Então, podemos dizer que é um múltiplo do produto vetorial .

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial . A fórmula para o produto vetorial de dois vetores e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:

Passo 4

Então, sabemos que é um múltiplo de . Podemos escrever como:
Onde é um escalar que precisamos descobrir.

Passo 5

Agora, vamos considerar a condição da projeção. A projeção ortogonal de sobre é dada por:
Segundo o enunciado, essa projeção deve ser igual a . Então, temos:

Passo 6

Podemos igualar os coeficientes das duas expressões, já que os vetores são os mesmos. Assim:
Isso nos dá uma equação para resolver .

Passo 7

Primeiro, vamos calcular o produto escalar :
Agora, calculamos a norma ao quadrado de :

Passo 8

Substituindo esses valores na equação:
Resolvendo para :

Passo 9

Agora que encontramos , podemos substituir de volta na expressão para :

Resposta

O vetor procurado é .

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Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede.
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função densidade : é a região triangular limitada pelas reta e .
Seja um triângulo de área igual a 4. Sendo e , calcule .
Se e são vetores tais que:
a) e ang , calcule .