Determine um vetor
ortogonal aos vetores
e
, de modo que sua projeção ortogonal sobre
seja igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um vetor
que seja ortogonal aos vetores
e
. Além disso, a projeção ortogonal de
sobre
deve ser igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como produtos vetoriais e projeções.
Passo 2
Primeiro, como
deve ser ortogonal a
e
, ela precisa estar no espaço que é perpendicular a ambos. Na álgebra linear, o vetor que é perpendicular a dois vetores
e
pode ser encontrado usando o produto vetorial. Então, podemos dizer que
é um múltiplo do produto vetorial
.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores
e
é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:
Passo 4
Então, sabemos que
é um múltiplo de
. Podemos escrever
como:
Onde
é um escalar que precisamos descobrir.
Passo 5
Agora, vamos considerar a condição da projeção. A projeção ortogonal de
sobre
é dada por:
Segundo o enunciado, essa projeção deve ser igual a
. Então, temos:
Passo 6
Podemos igualar os coeficientes das duas expressões, já que os vetores
são os mesmos. Assim:
Isso nos dá uma equação para resolver
.
Passo 7
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
:
Agora, calculamos a norma ao quadrado de
:
Passo 8
Substituindo esses valores na equação:
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora que encontramos
, podemos substituir de volta na expressão para
:
Resposta
O vetor procurado é
.