Determine um vetor t = (x, y, z) ortogonal aos vetores u = (-3, 2, 1) e v = (1, -2, 1), de modo que sua projeção ortogonal sobre w = (2, -2, 1) seja igual a 1/3 * w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores u = (-3, 2, 1) e v = (1, -2, 1). Além disso, a projeção ortogonal de sobre w = (2, -2, 1) deve ser igual a 1/3 * w. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como produtos vetoriais e projeções.

Passo 2

Primeiro, como deve ser ortogonal a u e v, ela precisa estar no espaço que é perpendicular a ambos. Na álgebra linear, o vetor que é perpendicular a dois vetores u e v pode ser encontrado usando o produto vetorial. Então, podemos dizer que é um múltiplo do produto vetorial u x v.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u x v. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:

Passo 4

Então, sabemos que é um múltiplo de . Podemos escrever como:
Onde lambda é um escalar que precisamos descobrir.

Passo 5

Agora, vamos considerar a condição da projeção. A projeção ortogonal de sobre w é dada por:
Segundo o enunciado, essa projeção deve ser igual a 1/3 * w. Então, temos:

Passo 6

Podemos igualar os coeficientes das duas expressões, já que os vetores w são os mesmos. Assim:
Isso nos dá uma equação para resolver lambda.

Passo 7

Primeiro, vamos calcular o produto escalar :
Agora, calculamos a norma ao quadrado de w:

Passo 8

Substituindo esses valores na equação:
Resolvendo para lambda:

Passo 9

Agora que encontramos , podemos substituir de volta na expressão para :

Resposta

O vetor procurado é .

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