Se u e v são vetores tais que:
a) ||u|| = 2, ||v|| = 3 e ang (u, v) = 30 graus, calcule ||u ∧ v||.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u e v, com magnitudes (ou seja, tamanhos) conhecidos: , . Além disso, o ângulo entre eles é de 30 graus. Nosso objetivo aqui é calcular a magnitude do produto vetorial desses dois vetores, que é representado por ||u ∧ v||.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores em um espaço tridimensional resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor resultado, que é o que a gente quer calcular, pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Onde:
  • ||u|| e ||v|| são as magnitudes dos vetores u e v, respectivamente.
  • theta é o ângulo entre os dois vetores.

Passo 3

Agora, vamos inserir os valores que temos nessa fórmula. Sabemos que:
Substituindo esses valores na fórmula, fica assim:

Passo 4

O próximo passo é calcular o valor de . Sabemos que:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar todos os valores que temos:

Resposta

A magnitude do produto vetorial ||u ∧ v|| é 3.

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