Seja o vetor
, obter:
a) um vetor ortogonal a
b) um vetor unitário ortogonal a
;
a) um vetor ortogonal a
b) um vetor unitário ortogonal a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o vetor
e precisa encontrar:
a) Um vetor que seja ortogonal a
.
b) Um vetor unitário ortogonal a
.
Pra isso, vamos usar conceitos de produto escalar e normalização de vetores. Bora passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um vetor ser ortogonal a outro. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Então, para encontrar um vetor ortogonal a
, precisamos encontrar um vetor
tal que:
Passo 3
Vamos montar a equação usando os componentes de
e
:
Simplificando:
Agora, precisamos encontrar valores para
,
e
que satisfaçam essa equação. Podemos escolher valores arbitrários para dois dos componentes e resolver para o terceiro. Vamos escolher
e
:
Então, um vetor ortogonal a
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar um vetor unitário ortogonal a
. Um vetor unitário tem magnitude igual a 1. Para isso, vamos normalizar o vetor
que encontramos.
A magnitude de um vetor
é dada por:
Calculando a magnitude de
:
Para normalizar, dividimos cada componente de
pela sua magnitude:
Resposta
a) Um vetor ortogonal a
é
.
b) Um vetor unitário ortogonal a
é
.
Exercícios relacionados
Determinar
para que o vetor
seja unitário.
Ache os autovalores e autovetores dos operadores abaixo
(b) por
(b)
Determine o vetor projeção de
sobre
.