Seja o vetor v=(2,-1,1), obter:
a) um vetor ortogonal a v
b) um vetor unitário ortogonal a v;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o vetor v = (2, -1, 1) e precisa encontrar:
a) Um vetor que seja ortogonal a v.
b) Um vetor unitário ortogonal a v.
Pra isso, vamos usar conceitos de produto escalar e normalização de vetores. Bora passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor ser ortogonal a outro. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Então, para encontrar um vetor ortogonal a v, precisamos encontrar um vetor w = (w1, w2, w3) tal que:
v cdot w = 0

Passo 3

Vamos montar a equação usando os componentes de v e w:
(2)(w1) + (-1)(w2) + (1)(w3) = 0
Simplificando:
2w1 - w2 + w3 = 0
Agora, precisamos encontrar valores para w1, w2 e w3 que satisfaçam essa equação. Podemos escolher valores arbitrários para dois dos componentes e resolver para o terceiro. Vamos escolher w1 = 1 e w2 = 0:
2(1) - 0 + w3 = 0 2 + w3 = 0 w3 = -2
Então, um vetor ortogonal a v é:
w = (1, 0, -2)

Passo 4

Agora, vamos encontrar um vetor unitário ortogonal a v. Um vetor unitário tem magnitude igual a 1. Para isso, vamos normalizar o vetor w que encontramos.
A magnitude de um vetor w = (w1, w2, w3) é dada por:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Calculando a magnitude de w = (1, 0, -2):
|w| = raiz1^2 + 0^2 + (-2)^2 = raiz1 + 0 + 4 = raiz5
Para normalizar, dividimos cada componente de w pela sua magnitude:
u = ( 1raiz5, 0raiz5, -2raiz5 ) = ( 1raiz5, 0, -2raiz5 )

Resposta

a) Um vetor ortogonal a v é w = (1, 0, -2).
b) Um vetor unitário ortogonal a v é u = ( dfrac1raiz5, 0, dfrac-2raiz5 ).

Exercícios relacionados

Determinar alpha para que o vetor v=(alpha, -12, 14) seja unitário.
Sejam T: M2(K) M2(K) e
B=(ll1 & 0 1 & 0),(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 1),(ll0 & 0 0 & 1) uma base de M2 ( K ). Encontre uma matriz invertivel A tal que A^-1[T]B A seja diagonal.
Ache os autovalores e autovetores dos operadores abaixo
(b) T: P2(x) P2(x) d a d a por T(a x^2+b x+c)=a x+c x+b
Determine o vetor projeção de u=(2,3,4) sobre v=(1,-1,0).