Determine o vetor tal que , seja ortogonal a e o ângulo entre e seja .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um vetor que tem módulo igual a 2, é ortogonal ao vetor e forma um ângulo de com o vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre vetores, produto escalar e propriedades de ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que é ortogonal a . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de e é:
Como devem ser ortogonais:

Passo 3

Agora, sabemos que tem módulo 2. O módulo de um vetor é dado por:
Substituindo :
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Além disso, o ângulo entre e é . A fórmula do ângulo entre dois vetores usa o produto escalar:
Sabendo que e , vamos primeiro calcular :
Então:
Simplificando:
Como já sabemos que :
Então:

Passo 5

Agora, voltando à equação do módulo:

Resposta

Os vetores que satisfazem as condições são:

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