Determine o vetor u tal que |u|=2, u seja ortogonal a w=(1,1,0) e o ângulo entre u e v=(1,-1,0) seja 45^circ.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um vetor que tem módulo igual a 2, é ortogonal ao vetor e forma um ângulo de com o vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre vetores, produto escalar e propriedades de ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que u cdot w = u1 cdot 1 + u2 cdot 1 + u3 cdot 0 = u1 + u2 é ortogonal a u1 + u2 = 0 Rightarrow u2 = -u1 . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de e é:
Como devem ser ortogonais:

Passo 3

Agora, sabemos que |u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 = 2 tem módulo 2. O módulo de um vetor raizu1^2 + (-u1)^2 + u3^2 = raiz2u1^2 + u3^2 = 2 é dado por:
2u1^2 + u3^2 = 4
Substituindo :
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Além disso, o ângulo entre costheta = u cdot v|u| cdot |v| e |v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2 é cos45^circ = u cdot v2 cdot raiz2 Rightarrow raiz22 = u1 cdot 1 + u2 cdot (-1) + u3 cdot 02raiz2 . A fórmula do ângulo entre dois vetores usa o produto escalar:
raiz22 = u1 - u22raiz2 Rightarrow u1 - u2 = 2
Sabendo que u1 - (-u1) = 2 Rightarrow 2u1 = 2 Rightarrow u1 = 1 e u2 = -1 , vamos primeiro calcular :
Então:
Simplificando:
Como já sabemos que :
Então:

Passo 5

Agora, voltando à equação do módulo:
2u1^2 + u3^2 = 4 Rightarrow 2(1)^2 + u3^2 = 4 Rightarrow 2 + u3^2 = 4 Rightarrow u3^2 = 2 Rightarrow u3 = raiz2 ou u3 = -raiz2

Resposta

Os vetores u = (1, -1, raiz2) e u = (1, -1, -raiz2) que satisfazem as condições são:

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