Determine o vetor
tal que
,
seja ortogonal a
e o ângulo entre
e
seja
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um vetor
que tem módulo igual a 2, é ortogonal ao vetor
e forma um ângulo de
com o vetor
. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre vetores, produto escalar e propriedades de ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
é ortogonal a
. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de
e
é:
Como devem ser ortogonais:
Passo 3
Agora, sabemos que
tem módulo 2. O módulo de um vetor
é dado por:
Substituindo
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Além disso, o ângulo entre
e
é
. A fórmula do ângulo entre dois vetores usa o produto escalar:
Sabendo que
e
, vamos primeiro calcular
:
Então:
Simplificando:
Como já sabemos que
:
Então:
Passo 5
Agora, voltando à equação do módulo:
Resposta
Os vetores
que satisfazem as condições são:
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para que os vetores
e
sejam
Ortonormalize as bases de
e de
abaixo pelo processo de Gram-Schmidt:
.
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