Ortonormalize as bases de R^2 e de R^3 abaixo pelo processo de Gram-Schmidt: (3,4),(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa ortonormalizar as bases de R^2 e de R^3 usando o processo de Gram-Schmidt. Isso significa que vamos transformar os vetores dados em vetores que são tanto ortogonais (perpendiculares entre si) quanto de comprimento 1. Para isso, vamos precisar entender projeções de vetores e como normalizar um vetor.

Passo 2

Vamos começar com o espaço R^2. Temos os vetores v1 = (3,4) e v2 = (1,2). Primeiro, vamos normalizar o primeiro vetor v1. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu comprimento (magnitude).
O comprimento de v1 é:
|v1| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, o vetor normalizado u1 é:
u1 = v1|v1| = (35, 45)

Passo 3

Agora, vamos ajustar o segundo vetor v2 para que ele seja ortogonal a u1. Para isso, calculamos a projeção de v2 em u1:
proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1
Calculando o produto escalar:
v2 cdot u1 = 1 times 35 + 2 times 45 = 35 + 85 = 115
Como u1 já é um vetor unitário, u1 cdot u1 = 1. Então:
proju1 v2 = 115 (35, 45) = (3325, 4425)
Subtraímos essa projeção de v2 para obter o vetor ortogonal:
v2' = v2 - proju1 v2 = (1 - 3325, 2 - 4425) = (-825, 625)

Passo 4

Agora, vamos normalizar v2' para obter u2. Primeiro, calculamos o comprimento de v2':
|v2'| = raiz(-825)^2 + (625)^2 = raiz64625 + 36625 = raiz100625 = raiz425 = 25
Então, o vetor normalizado u2 é:
u2 = v2'|v2'| = (-8/252/5, 6/252/5) = (-810, 610) = (-45, 35)

Resposta

A base ortonormalizada de R^2 pelo processo de Gram-Schmidt é:
(35, 45), (-45, 35)

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