Ortonormalize as bases de
e de
abaixo pelo processo de Gram-Schmidt:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa ortonormalizar as bases de
e de
usando o processo de Gram-Schmidt. Isso significa que vamos transformar os vetores dados em vetores que são tanto ortogonais (perpendiculares entre si) quanto de comprimento 1. Para isso, vamos precisar entender projeções de vetores e como normalizar um vetor.
Passo 2
Vamos começar com o espaço
. Temos os vetores
e
. Primeiro, vamos normalizar o primeiro vetor
. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu comprimento (magnitude).
O comprimento de
é:
Então, o vetor normalizado
é:
Passo 3
Agora, vamos ajustar o segundo vetor
para que ele seja ortogonal a
. Para isso, calculamos a projeção de
em
:
Calculando o produto escalar:
Como
já é um vetor unitário,
. Então:
Subtraímos essa projeção de
para obter o vetor ortogonal:
Passo 4
Agora, vamos normalizar
para obter
. Primeiro, calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor normalizado
é:
Resposta
A base ortonormalizada de
pelo processo de Gram-Schmidt é:
Exercícios relacionados
Estude a posição relativa das retas
e
:
s:
Determinar as equações das seguintes retas: reta que passa por
e é paralela ao eixo
;
Determinar o valor de
para que os vetores
e
sejam
Determine o vetor
tal que
,
seja ortogonal a
e o ângulo entre
e
seja
.