Ortonormalize as bases de e de abaixo pelo processo de Gram-Schmidt: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa ortonormalizar as bases de e de usando o processo de Gram-Schmidt. Isso significa que vamos transformar os vetores dados em vetores que são tanto ortogonais (perpendiculares entre si) quanto de comprimento 1. Para isso, vamos precisar entender projeções de vetores e como normalizar um vetor.

Passo 2

Vamos começar com o espaço . Temos os vetores e . Primeiro, vamos normalizar o primeiro vetor . A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu comprimento (magnitude).
O comprimento de é:
Então, o vetor normalizado é:

Passo 3

Agora, vamos ajustar o segundo vetor para que ele seja ortogonal a . Para isso, calculamos a projeção de em :
Calculando o produto escalar:
Como já é um vetor unitário, . Então:
Subtraímos essa projeção de para obter o vetor ortogonal:

Passo 4

Agora, vamos normalizar para obter . Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor normalizado é:

Resposta

A base ortonormalizada de pelo processo de Gram-Schmidt é:

Exercícios relacionados

Estude a posição relativa das retas e : s:
Determinar as equações das seguintes retas: reta que passa por e é paralela ao eixo ;
Determinar o valor de para que os vetores e sejam
Determine o vetor tal que , seja ortogonal a e o ângulo entre e seja .