Um surfista está na parte dianteira de uma onda, em um ponto no qual a tangente à onda tem uma inclinação de theta=30,0^circ. A massa total do surfista e da prancha é m=83,0 kg, e o volume submerso da prancha é V=2,50 x 10^-2 m^3. O surfista mantém sua posiçăo em relaçảo à onda quando esta se move com velocidade constante em direção à praia. Quais são os módulo e a orientaçăo (em relaçăo ao eixo positivo de x ) da força de arrasto que a água exerce sobre o surfista?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um surfista na parte da frente de uma onda, onde a onda está inclinada em 30 graus em relação à horizontal. A massa total do surfista e da prancha é de 83 kg, e o volume da prancha que está submerso na água é de . O surfista está conseguindo se manter na mesma posição relativa à onda enquanto ela se move em velocidade constante em direção à praia. Nosso objetivo é descobrir qual é o módulo (tamanho) e a orientação (ângulo em relação ao eixo positivo de x) da força de arrasto que a água está exercendo sobre o surfista.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática (equilíbrio de forças) e hidrodinâmica (força de arrasto). Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam sobre o surfista e a prancha:
  1. Peso §: A força da gravidade puxando o surfista para baixo. É calculada por , onde é a massa e é a aceleração da gravidade ( ).
  2. Força de Flutuação (B): A força que a água exerce para cima, equilibrando o peso do surfista e da prancha. Ela é calculada por , onde é a densidade da água ( ), é o volume submerso, e é a aceleração da gravidade.
  3. Força de Arrasto (F_d): A força que a água exerce contra o movimento do surfista na direção da onda. Como o surfista está se movendo com velocidade constante, a força de arrasto está equilibrando outras forças paralelas à superfície da água.

Passo 3

Vamos calcular o Peso §:
P = m times g
P = 83,0 , kg times 9,81 , m/s^2
P = 814,23 , N

Passo 4

Agora, vamos calcular a Força de Flutuação (B):
B = rho times V times g
B = 1000 , kg/m^3 times 2,50 times 10^-2 , m^3 times 9,81 , m/s^2
B = 245,25 , N

Passo 5

Em equilíbrio, as forças na direção vertical devem se balancear. Isso significa que a soma das componentes verticais do peso e da força de arrasto deve ser igual à força de flutuação.
Vamos decompor o peso na direção paralela e perpendicular à superfície da onda inclinada:
  • Componente perpendicular (vertical) do peso: P cos(30^circ) = 814,23 , N times cos(30^circ) approx 814,23 times 0,8660 approx 704,8 , N
  • Componente paralela (horizontal) do peso: P sin(30^circ) = 814,23 , N times sin(30^circ) approx 814,23 times 0,5 approx 407,1 , N
Onde .
Calculando:

Passo 6

A força de arrasto tem duas componentes: uma perpendicular à onda e outra paralela. No equilíbrio, a componente perpendicular da força de arrasto mais a força de flutuação deve equilibrar a componente perpendicular do peso:
Fdperp + B = P cos(theta)
Fdperp = P cos(theta) - B
Fdperp = 704,8 , N - 245,25 , N approx 459,55 , N

Passo 7

A componente paralela da força de arrasto deve equilibrar a componente paralela do peso, já que o surfista está se movendo com velocidade constante (aceleração zero):
Fdparal<=l = P sin(theta)
Fdparal<=l = 407,1 , N

Passo 8

Agora, para encontrar o módulo total da força de arrasto ( Fd = raizFdperp^2 + Fdparal<=l^2 ) e sua orientação ( Fd = raiz(459,55)^2 + (407,1)^2 ) em relação ao eixo positivo de x, usamos o teorema de Pitágoras e a função trigonométrica tangente:
Fd approx raiz210,814 + 165,683 approx raiz376,497 approx 613,56 , N
phi = tan^-1( Fdparal<=lFdperp )
phi = tan^-1( 407,1459,55 )
E para o ângulo:
phi approx tan^-1(0,887) approx 41,0^circ

Resposta

A força de arrasto que a água exerce sobre o surfista tem um módulo de aproximadamente e está orientada a em relação ao eixo positivo de x.

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