Determine o vetor unitário ortogonal aos vetores a= (2, 6, -1) e b= (0, -2, 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um vetor unitário que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) aos vetores a = (2, 6, -1) e b = (0, -2, 1). A matéria aqui envolve vetores no espaço tridimensional, produto vetorial para achar vetores ortogonais, e depois normalização pra transformar esse vetor em unitário.

Passo 2

Primeiro, pra achar um vetor que seja perpendicular tanto a a quanto a b, a gente usa o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores dá um terceiro vetor que é ortogonal aos dois originais.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial a × b. A fórmula pra isso é:
a times b = ( ay bz - az by, ; az bx - ax bz, ; ax by - ay bx )
Substituindo os valores de a e b:
a times b = ( 6 cdot 1 - (-1) cdot (-2), ; (-1) cdot 0 - 2 cdot 1, ; 2 cdot (-2) - 6 cdot 0 ) = ( 6 - 2, ; 0 - 2, ; -4 - 0 ) = (4, -2, -4)

Passo 4

Agora, pra transformar esse vetor em unitário, a gente precisa calcular a magnitude dele. A fórmula é:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Então,
|a times b| = raiz4^2 + (-2)^2 + (-4)^2 = raiz16 + 4 + 16 = raiz36 = 6

Passo 5

Por fim, o vetor unitário é o vetor original dividido pela sua magnitude:
u = a times b|a times b| = (4, -2, -4)6 = ( 46, -26, -46 ) = ( 23, -13, -23 )

Resposta

O vetor unitário ortogonal aos vetores a e b é u = (2/3, -1/3, -2/3).

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