Encontre a fatoração LU da seguinte matriz:| 6 -2 0 || 9 -1 1 || 3 7 5 |

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de fatoração LU juntos! O que a questão pede é encontrar a fatoração LU da matriz dada. Fatoração LU significa decompor a matriz original em duas matrizes: uma triangular inferior $ L $ e uma triangular superior $ U $, de forma que $ A = LU $. Para isso, vamos precisar usar o método de eliminação de Gauss e entender como identificar os valores de $ L $ e $ U $.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original $ A $:
A
Nosso objetivo é transformar $ A $ em uma matriz triangular superior $ U $, enquanto registramos os multiplicadores usados nas operações de linha para formar a matriz triangular inferior $ L $.

Passo 3

Começamos pelo primeiro pivô, que é o elemento $ a_{11} = 6 $. Queremos zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna. Para isso, usamos multiplicadores.
Para a segunda linha:
a11 = 6
Subtraímos $ \frac{3}{2} $ vezes a primeira linha da segunda linha.
Para a terceira linha:
l21 = a21a11 = 96 = 32
Subtraímos $ \frac{1}{2} $ vezes a primeira linha da terceira linha.

Passo 4

Após aplicar essas operações, a matriz fica assim:
U = 6 & -2 & 0 0 & 2 & 1 0 & 8 & 5
E a matriz $ L $ começa a se formar com os multiplicadores:
L

Passo 5

Agora, trabalhamos na segunda coluna. O pivô é $ u_{22} = 2 $. Precisamos zerar o elemento abaixo dele na mesma coluna.
Calculamos o multiplicador para a terceira linha:
u22 = 2
Subtraímos 4 vezes a segunda linha da terceira linha.

Passo 6

Após essa operação, a matriz $ U $ fica:
U
E completamos a matriz $ L $ com o valor encontrado:
U = 6 & -2 & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 1

Resposta

Portanto, a fatoração LU da matriz dada é:
L = 1 & 0 & 0 32 & 1 & 0 12 & 4 & 1 e U = 6 & -2 & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 1

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