Encontre a fatoração LU da seguinte matriz:| 6 -2 0 || 9 -1 1 || 3 7 5 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de fatoração LU juntos! O que a questão pede é encontrar a fatoração LU da matriz dada. Fatoração LU significa decompor a matriz original em duas matrizes: uma triangular inferior $ L $ e uma triangular superior $ U $, de forma que $ A = LU $. Para isso, vamos precisar usar o método de eliminação de Gauss e entender como identificar os valores de $ L $ e $ U $.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz original $ A $:
Nosso objetivo é transformar $ A $ em uma matriz triangular superior $ U $, enquanto registramos os multiplicadores usados nas operações de linha para formar a matriz triangular inferior $ L $.
Passo 3
Começamos pelo primeiro pivô, que é o elemento $ a_{11} = 6 $. Queremos zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna. Para isso, usamos multiplicadores.
Para a segunda linha:
Subtraímos $ \frac{3}{2} $ vezes a primeira linha da segunda linha.
Para a terceira linha:
Subtraímos $ \frac{1}{2} $ vezes a primeira linha da terceira linha.
Passo 4
Após aplicar essas operações, a matriz fica assim:
E a matriz $ L $ começa a se formar com os multiplicadores:
Passo 5
Agora, trabalhamos na segunda coluna. O pivô é $ u_{22} = 2 $. Precisamos zerar o elemento abaixo dele na mesma coluna.
Calculamos o multiplicador para a terceira linha:
Subtraímos 4 vezes a segunda linha da terceira linha.
Passo 6
Após essa operação, a matriz $ U $ fica:
E completamos a matriz $ L $ com o valor encontrado:
Resposta
Portanto, a fatoração LU da matriz dada é: