Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar dois números positivos que, quando multiplicados, dão 100. E além disso, a soma desses dois números tem que ser a menor possível. Vamos usar conceitos de otimização, que é quando a gente tenta encontrar o melhor valor para algo, no caso, a menor soma.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar esses números de $ x $ e $ y $. Sabemos que $ x \times y = 100 $. Queremos minimizar $ x + y $. Para facilitar, podemos expressar $ y $ em função de $ x $:
x
Assim, a soma fica:
y

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de $ x $ que deixa $ S $ o menor possível. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial. Vamos derivar $ S $ em relação a $ x $ e encontrar onde a derivada é zero, porque esses pontos podem ser mínimos.

Passo 4

A derivada de $ S $ em relação a $ x $ é:
S
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
x

Passo 5

Resolvendo a equação:
1 = 100x^2 x^2 = 100 x = raiz100 x = 10
Como estamos lidando com números positivos, descartamos a solução negativa.

Passo 6

Agora que temos $ x = 10 $, podemos encontrar $ y $ usando a relação $ y = \frac{100}{x} $:
x = 10

Resposta

Os dois números são $ 10 $ e $ 10 $. A soma mínima é $ 20 $.

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