Determine um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u = ( -1, 4, 3 ) e v = ( 2, -1, 3 ).

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de vetores no espaço tridimensional. A gente precisa encontrar um vetor unitário que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) tanto ao vetor u = (-1, 4, 3) quanto ao vetor v = (2, -1, 3). Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de produto vetorial e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, pra encontrar um vetor que seja perpendicular a u e v, a gente usa o produto vetorial dos dois vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula do produto vetorial para u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 )
Vamos calcular isso com nossos vetores:
u times v = ( (4)(3) - (3)(-1), (3)(2) - (-1)(3), (-1)(-1) - (4)(2) )
= (12 + 3, 6 + 3, 1 - 8)
= (15, 9, -7)
Então, o vetor resultante do produto vetorial é w = (15, 9, -7).

Passo 3

Agora, pra transformar esse vetor em um vetor unitário, a gente precisa calcular a magnitude (ou comprimento) desse vetor e depois dividir cada componente do vetor pela sua magnitude. A fórmula da magnitude de um vetor w = (w₁, w₂, w₃) é:
| w | = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Vamos calcular:
| w | = raiz15^2 + 9^2 + (-7)^2 = raiz225 + 81 + 49 = raiz355 approx 18.841

Passo 4

Com a magnitude do vetor w calculada, a gente pode encontrar o vetor unitário dividindo cada componente de w pela sua magnitude:
uunitário = ( 1518.841, 918.841, -718.841 ) approx (0.796, 0.478, -0.372) á

Resposta

O vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u = (-1, 4, 3) e v = (2, -1, 3) é aproximadamente (0.796, 0.478, -0.372).

Exercícios relacionados