Determine um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u = ( -1, 4, 3 ) e v = ( 2, -1, 3 ).
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de vetores no espaço tridimensional. A gente precisa encontrar um vetor unitário que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) tanto ao vetor u = (-1, 4, 3) quanto ao vetor v = (2, -1, 3). Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de produto vetorial e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, pra encontrar um vetor que seja perpendicular a u e v, a gente usa o produto vetorial dos dois vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula do produto vetorial para u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é:
Vamos calcular isso com nossos vetores:
Então, o vetor resultante do produto vetorial é w = (15, 9, -7).
Passo 3
Agora, pra transformar esse vetor em um vetor unitário, a gente precisa calcular a magnitude (ou comprimento) desse vetor e depois dividir cada componente do vetor pela sua magnitude. A fórmula da magnitude de um vetor w = (w₁, w₂, w₃) é:
Vamos calcular:
Passo 4
Com a magnitude do vetor w calculada, a gente pode encontrar o vetor unitário dividindo cada componente de w pela sua magnitude:
Resposta
O vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u = (-1, 4, 3) e v = (2, -1, 3) é aproximadamente (0.796, 0.478, -0.372).