Um voo supersônico se desloca a uma velocidade maior que a velocidade local do som. A velocidade do som (Mach 1) varia com a pressão atmosférica e a temperatura: no ar, a uma temperatura de 15°C e à pressão ao nível do mar, o som viaja a, aproximadamente, 1.225km/h. Em velocidades além de cerca de cinco vezes a velocidade do som (Mach 5), o termo voo hipersônico é empregado. Determinado veículo supersônico de uso militar se desloca seguindo a equação dependente de tempo: s(t)=5t4-30t3+20t^2-9. Assinale a alternativa que contém a função velocidade do objeto em função do tempo t.
a. v(t) = 15t^3 – 40t^3 +52t
b. v(t) = 20t^3 – 90t^2 +40t
c. v(t) = 40t^4 – 50t^3 +80t^2
d. v(t) = 30t^3 – 40t^2 +46t
e. v(t) = 30t^3 – 40t^3 +20t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um voo supersônico cujo deslocamento em função do tempo é dado pela equação $ s(t) = 5t^4 - 30t^3 + 20t^2 - 9 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a função velocidade $ v(t) $ desse objeto em relação ao tempo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas da matemática, especificamente calculando a derivada da função posição $ s(t) $ em relação ao tempo $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, matematicamente:
v(t) = ds(t)dt
Então, precisamos derivar cada termo de $ s(t) = 5t^4 - 30t^3 + 20t^2 - 9 $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos derivar termo por termo:
  1. Para $ 5t^4 $: 5t^4
  2. Para $ -30t^3 $: ddt(5t^4) = 5 times 4t^4-1 = 20t^3
  3. Para $ 20t^2 $: -30t^3
  4. Para $ -9 $ (uma constante): ddt(-30t^3) = -30 times 3t^3-1 = -90t^2

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas calculadas:
v(t) = 20t^3 - 90t^2 + 40t + 0
Podemos simplificar retirando o zero:
v(t) = 20t^3 - 90t^2 + 40t

Resposta

A função velocidade do objeto em função do tempo $ t $ é:
t
O que corresponde à alternativa b.

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