Uma das grandes aplicações do Cálculo Diferencial e Integral está relacionada ao cálculo da área de uma região abaixo de certa curva limitada pelo eixo Ox. Considere a função f(x), de R em R, definida por f(x) = x³ + 2x + 5 e o intervalo I = [0; 1]. Analise as afirmativas abaixo. I – A sua antiderivada é uma função polinomial de 3º grau. II – A função F(x) = (x⁴/4) + x² + 5x + 4 é uma primitiva dessa função. III – A área da região abaixo da curva e limitada pelo eixo Ox em I é igual a 23/4 u.a… Assinale a alternativa que apresenta somente a(s) afirmativas correta(s). Alternativas:
a) Somente a afirmativa I está correta.
b) Somente a afirmativa II está correta.
c) Somente a afirmativa III está correta.
d) Somente as afirmativas I e III estão corretas.
e) Somente as afirmativas II e III estão corretas.

Passo 1

Vamos analisar a questão que envolve Cálculo Diferencial e Integral, especificamente sobre antiderivadas e cálculo de áreas sob curvas. Temos a função $ f(x) = x^3 + 2x + 5 $ e o intervalo $ I = [0; 1] $. Precisamos verificar quais das três afirmativas estão corretas usando conceitos de antiderivadas e integrais definidas.

Passo 2

Afirmativa I: “A sua antiderivada é uma função polinomial de 3º grau.”
Para encontrar a antiderivada de $ f(x) $, integramos cada termo:
f(x)
A antiderivada resultante é um polinômio de 4º grau, não de 3º. Portanto, a afirmativa I está errada.

Passo 3

Afirmativa II: “A função $ F(x) = \frac{x^4}{4} + x^2 + 5x + 4 $ é uma primitiva dessa função.”
Vamos verificar se $ F(x) $ é realmente uma primitiva de $ f(x) $. Calculando a derivada de $ F(x) $:
F(x) = x^44 + x^2 + 5x + 4
Como $ F’(x) = f(x) $, então $ F(x) $ é de fato uma primitiva de $ f(x) $. Portanto, a afirmativa II está correta.

Passo 4

Afirmativa III: “A área da região abaixo da curva e limitada pelo eixo Ox em $ I $ é igual a $ \frac{23}{4} $ u.a…”
Para encontrar a área sob a curva de $ f(x) $ no intervalo $ [0; 1] $, calculamos a integral definida:
I Á
Calculando os valores:
234
A área calculada é $ \frac{25}{4} $ u.a., não $ \frac{23}{4} $. Portanto, a afirmativa III está errada.

Resposta

A alternativa correta é a b) Somente a afirmativa II está correta.

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