Determine o vetor w na expressão 3 w+2 u=12 v+w tal que u=(3,-1) e v=(-2,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o vetor w na equação 3 w + 2 u = 12 v + w. Aqui, estamos trabalhando com operações de vetores, tipo somar e multiplicar vetores por números. Vamos precisar das coordenadas dos vetores u e v, que são dadas como u = (3, -1) e v = (-2, 4).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que vetor é basicamente uma “seta” no espaço com direção e magnitude. Quando a gente soma vetores ou multiplica por escalar, isso é igual a somar ou multiplicar componente por componente. Por exemplo, se tiver ax = (a x1, a x2).

Passo 3

Vamos escrever a equação com os vetores substituídos pelas suas coordenadas:
3 w + 2 u = 12 v + w
Substituindo:
3 w + 2 (3, -1) = 12 (-2, 4) + w

Passo 4

Vamos multiplicar os vetores pelos escalares:
3 w + (6, -2) = (-1, 2) + w

Passo 5

Agora, vamos isolar w. Para isso, vamos passar o w do lado direito para o lado esquerdo:
3 w - w = (-1, 2) - (6, -2)
Isso simplifica para:
2 w = (-7, 4)

Passo 6

Finalmente, para encontrar w, dividimos cada componente por 2:
w = ( -72, 42 ) = ( -72, 2 )

Resposta

O vetor w é ( -72, 2 ).

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