Esboce as seguintes superfícies
x^24-y^29+z^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a superfície dada pela equação x^24-y^29+z^2=1. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica e mais especificamente sobre Superfícies Quadráticas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar o tipo de superfície que essa equação representa e quais são suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície estamos lidando. A equação geral das superfícies quadráticas tem a forma:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
No nosso caso, a equação é:
x^24 - y^29 + z^2 = 1
Podemos reescrever isso como:
x^22^2 - y^23^2 + z^2 = 1

Passo 3

Agora, vamos analisar os sinais dos termos. Temos um termo x^2 positivo, um termo y^2 negativo e um termo z^2 positivo. Quando temos termos com sinais diferentes, geralmente estamos lidando com hiperboloides.
Especificamente, como temos dois termos positivos e um negativo, a superfície é um hiperboloide de duas folhas.

Passo 4

Para esboçar, vamos determinar as interseções com os planos principais: xy, xz e yz.
  1. Interseção com o plano xy ( z=0):
    Substituindo z=0 na equação:
    x^24 - y^29 = 1
    Essa é a equação de uma hipérbole no plano xy.
  2. Interseção com o plano xz ( y=0):
    Substituindo y=0:
    x^24 + z^2 = 1
    Essa é a equação de uma elipse no plano xz.
  3. Interseção com o plano yz ( x=0):
    Substituindo x=0:
    -y^29 + z^2 = 1 Rightarrow y^29 - z^2 = -1
    Multiplicando ambos os lados por -1:
    y^29 - z^2 = -1
    Essa também é uma hipérbole, mas refletida.

Passo 5

Com essas interseções, podemos começar a esboçar a superfície:
  • No plano xy, a hipérbole abre-se ao longo do eixo x.
  • No plano xz, a elipse indica que a superfície está fechada nessa direção.
  • No plano yz, a hipérbole sugere que a superfície se estende ou se abre ao longo do eixo y.
O hiperbolóide de duas folhas tem duas “abas” que se estendem infinitamente nas direções positivas e negativas do eixo que está com o sinal oposto (neste caso, o eixo y). As elipses no plano xz mostram que, para diferentes valores de y, há seções elípticas.

Passo 6

Para finalizar o esboço:
  1. Desenhe os eixos coordenados x, y e z.
  2. No plano xy, esboce a hipérbole x^24 - y^29 = 1.
  3. No plano xz, esboce a elipse x^24 + z^2 = 1.
  4. No plano yz, esboce a hipérbole y^29 - z^2 = -1.
  5. Conecte essas curvas considerando a simetria e a forma geral de um hiperbolóide de duas folhas, criando as duas “abas” que se abrem ao longo do eixo y.

Resposta

A superfície representada pela equação x^24-y^29+z^2=1 é um hiperbolóide de duas folhas. O esboço deve mostrar duas “abas” simétricas ao redor do eixo y, intercaladas por hipérboles no plano xy e yz e elipses no plano xz.

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