Esboce as seguintes superfícies
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a superfície dada pela equação
. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica e mais especificamente sobre Superfícies Quadráticas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar o tipo de superfície que essa equação representa e quais são suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície estamos lidando. A equação geral das superfícies quadráticas tem a forma:
No nosso caso, a equação é:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos analisar os sinais dos termos. Temos um termo
positivo, um termo
negativo e um termo
positivo. Quando temos termos com sinais diferentes, geralmente estamos lidando com hiperboloides.
Especificamente, como temos dois termos positivos e um negativo, a superfície é um hiperboloide de duas folhas.
Passo 4
Para esboçar, vamos determinar as interseções com os planos principais:
,
e
.
-
Interseção com o plano
( ): Substituindona equação: Essa é a equação de uma hipérbole no plano. -
Interseção com o plano
( ): Substituindo: Essa é a equação de uma elipse no plano. -
Interseção com o plano
( ): Substituindo: Multiplicando ambos os lados por: Essa também é uma hipérbole, mas refletida.
Passo 5
Com essas interseções, podemos começar a esboçar a superfície:
- No plano
, a hipérbole abre-se ao longo do eixo . - No plano
, a elipse indica que a superfície está fechada nessa direção. - No plano
, a hipérbole sugere que a superfície se estende ou se abre ao longo do eixo .
O hiperbolóide de duas folhas tem duas “abas” que se estendem infinitamente nas direções positivas e negativas do eixo que está com o sinal oposto (neste caso, o eixo
). As elipses no plano
mostram que, para diferentes valores de
, há seções elípticas.
Passo 6
Para finalizar o esboço:
- Desenhe os eixos coordenados
, e . - No plano
, esboce a hipérbole . - No plano
, esboce a elipse . - No plano
, esboce a hipérbole . - Conecte essas curvas considerando a simetria e a forma geral de um hiperbolóide de duas folhas, criando as duas “abas” que se abrem ao longo do eixo
.
Resposta
A superfície representada pela equação
é um hiperbolóide de duas folhas. O esboço deve mostrar duas “abas” simétricas ao redor do eixo
, intercaladas por hipérboles no plano
e
e elipses no plano
.