Um hiperboloide de duas folhas tem as seguintes propriedades:
  • a interseção com planos x=k são circunferências e elas ocorrem somente com |k| >= 3
  • Para y=4, temos: x^218-z^232=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hiperboloides de duas folhas. A gente vai precisar entender um pouco sobre superfícies quadricas, especificamente os hiperboloides, e como eles se comportam quando intersectados com planos. A tarefa aqui é descobrir a equação desse hiperboloide usando as propriedades que foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um hiperboloide de duas folhas. É uma superfície quádrupla que parece duas “folhas” separadas, e sua equação geral pode ser escrita como:
x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = -1
Note que o sinal negativo está associado ao termo com , indicando que são duas folhas opostas.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira propriedade: a interseção com planos k^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = -1 são circunferências somente quando 1b^2 = 1c^2 e k^2a^2 - 1 = 0 . Isso significa que, quando substituímos na equação do hiperboloide, devemos obter uma equação de círculo.
Substituindo na equação geral:
Para que isso represente uma circunferência, precisamos que os termos com e formem uma equação do tipo . Isso acontece quando os coeficientes de e são iguais e têm sinais opostos.
Portanto, temos:
Daí, , e como , então .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda propriedade: para x^2a^2 + 16b^2 - z^2c^2 = -1 , a equação é x^218 - z^232 = 1 .
Substituindo 1a^2 = 118 Rightarrow a^2 = 18 na equação geral do hiperboloide:
1c^2 = 132 Rightarrow c^2 = 32
Da equação dada na propriedade:
Comparando as duas equações, vemos que:
Isso confirma que , mas como já determinamos que a partir da primeira propriedade, precisamos ajustar nossos valores.

Passo 5

Vamos ajustar os valores corretamente. Sabemos que x^218 - z^232 = 1 , então x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = -1 .
Da segunda propriedade:
y^2b^2 + z^2c^2 - x^2a^2 = 1
Isso sugere que a relação entre 16b^2 + z^2c^2 - x^2a^2 = 1 , x^218 - z^232 = 1 e x^2a^2 - z^2c^2 = 1 Rightarrow a^2 = 18 e c^2 = 32 deve ser considerada. Comparando com a forma geral:
A equação fornecida para é semelhante a uma hipérbole, então precisamos reconciliar isso. Parece que houve uma confusão nos sinais. Na verdade, para que as interseções com sejam circunferências, a equação correta do hiperboloide de duas folhas deveria ser:
Agora, substituindo :
Comparando com a equação dada:
Vemos que:

Passo 6

Finalmente, sabemos que y^2b^2 + z^232 - x^218 = 1 , então a equação completa do hiperboloide de duas folhas é:
y^2b^2 + z^232 = x^218 + 1
Mas ainda precisamos determinar x^218 + 1 = 918 + 1 = 12 + 1 = 32 . Voltando à primeira propriedade, para que as interseções com y^2b^2 + z^232 = 32 sejam circunferências apenas quando 1b^2 = 132 Rightarrow b^2 = 32 , temos:
Para :
Isso implica que:
Para ser uma circunferência, os coeficientes devem ser iguais, então:

Resposta

A equação do hiperboloide de duas folhas é:
y^232 + z^232 - x^218 = 1

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