Um hiperboloide de duas folhas tem as seguintes propriedades:
- a interseção com planos
são circunferências e elas ocorrem somente com
- Para
, temos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hiperboloides de duas folhas. A gente vai precisar entender um pouco sobre superfícies quadricas, especificamente os hiperboloides, e como eles se comportam quando intersectados com planos. A tarefa aqui é descobrir a equação desse hiperboloide usando as propriedades que foram dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um hiperboloide de duas folhas. É uma superfície quádrupla que parece duas “folhas” separadas, e sua equação geral pode ser escrita como:
Note que o sinal negativo está associado ao termo com
, indicando que são duas folhas opostas.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira propriedade: a interseção com planos
são circunferências somente quando
. Isso significa que, quando substituímos
na equação do hiperboloide, devemos obter uma equação de círculo.
Substituindo
na equação geral:
Para que isso represente uma circunferência, precisamos que os termos com
e
formem uma equação do tipo
. Isso acontece quando os coeficientes de
e
são iguais e têm sinais opostos.
Portanto, temos:
Daí,
, e como
, então
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda propriedade: para
, a equação é
.
Substituindo
na equação geral do hiperboloide:
Da equação dada na propriedade:
Comparando as duas equações, vemos que:
Isso confirma que
, mas como já determinamos que
a partir da primeira propriedade, precisamos ajustar nossos valores.
Passo 5
Vamos ajustar os valores corretamente. Sabemos que
, então
.
Da segunda propriedade:
Isso sugere que a relação entre
,
e
deve ser considerada. Comparando com a forma geral:
A equação fornecida para
é semelhante a uma hipérbole, então precisamos reconciliar isso. Parece que houve uma confusão nos sinais. Na verdade, para que as interseções com
sejam circunferências, a equação correta do hiperboloide de duas folhas deveria ser:
Agora, substituindo
:
Comparando com a equação dada:
Vemos que:
Passo 6
Finalmente, sabemos que
, então a equação completa do hiperboloide de duas folhas é:
Mas ainda precisamos determinar
. Voltando à primeira propriedade, para que as interseções com
sejam circunferências apenas quando
, temos:
Para
:
Isso implica que:
Para ser uma circunferência, os coeficientes devem ser iguais, então:
Resposta
A equação do hiperboloide de duas folhas é: