Determine o volume de E = {(x, y, z) em R^3 ; (x, y) em D} e 0 <= z <= ln 2, onde D é a elipse
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
de área mínima que circunda o círculo de equação x^2 + y^2 = 2y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o volume do conjunto em três dimensões, onde é definido como todos os pontos que pertencem a uma elipse no plano e cujas coordenadas vão de 0 até . A elipse em si é a de menor área que circunda um círculo dado pela equação .
Vamos precisar de conhecimentos sobre geometria analítica, especificamente sobre círculos e elipses, além de cálculos de área e volume.

Passo 2

Vamos começar identificando o círculo dado pela equação . Podemos reorganizar essa equação para deixá-la na forma padrão de um círculo.
Subtraímos de ambos os lados:
Completemos o quadrado para o termo em :
Isso simplifica para:
Então, temos um círculo com centro em e raio 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a elipse de menor área que circunda esse círculo. Para uma elipse circunscrever um círculo de maneira eficiente, a elipse deve ser centrada no mesmo ponto que o círculo e ter semieixos iguais ao raio do círculo. Isso significa que, nesse caso, a elipse mínima que circunda o círculo é o próprio círculo.
Portanto, a elipse tem a mesma área do círculo, que é:
Á

Passo 4

O volume é definido como a região entre e sobre a elipse . Para encontrar o volume, multiplicamos a área da base pela altura :
Á

Resposta

O volume de é .

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