Determine o volume de
e
, onde
é a elipse
de área mínima que circunda o círculo de equação
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o volume do conjunto
em três dimensões, onde
é definido como todos os pontos
que pertencem a uma elipse
no plano
e cujas coordenadas
vão de 0 até
. A elipse
em si é a de menor área que circunda um círculo dado pela equação
.
Vamos precisar de conhecimentos sobre geometria analítica, especificamente sobre círculos e elipses, além de cálculos de área e volume.
Passo 2
Vamos começar identificando o círculo dado pela equação
. Podemos reorganizar essa equação para deixá-la na forma padrão de um círculo.
Subtraímos
de ambos os lados:
Completemos o quadrado para o termo em
:
Isso simplifica para:
Então, temos um círculo com centro em
e raio 1.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a elipse de menor área que circunda esse círculo. Para uma elipse circunscrever um círculo de maneira eficiente, a elipse deve ser centrada no mesmo ponto que o círculo e ter semieixos iguais ao raio do círculo. Isso significa que, nesse caso, a elipse mínima que circunda o círculo é o próprio círculo.
Portanto, a elipse
tem a mesma área do círculo, que é:
Passo 4
O volume
é definido como a região entre
e
sobre a elipse
. Para encontrar o volume, multiplicamos a área da base
pela altura
:
Resposta
O volume de
é
.
Exercícios relacionados
Utiliza integral tripla para determinar o volume da elipse de equação
Calcule (como achar melhor):
Cálculo
Assunto: Equações do segundo grau
Encontre as raízes das seguintes equações do grau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Assunto: Equações do segundo grau
Encontre as raízes das seguintes equações do
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Dos 8 irmãos que possuo, apenas
são mulheres. Quantas irmãs eu possuo?