Utiliza integral tripla para determinar o volume da elipse de equação
((x - x0)^2/a^2) + ((y - y0)^2/b^2) + ((z - z0)^2/c^2) = 1
com a, b, c em R+* e x0, y0, z0 em R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de uma elipse tridimensional, chamada de elipsoide, usando integrais triplas. O enunciado nos dá a equação da elipsoide:
((x - x0)^2/a^2) + ((y - y0)^2/b^2) + ((z - z0)^2/c^2) = 1
Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral tripla para calcular volumes e usar coordenadas que facilitem nossa conta, como as coordenadas elipsoidais ou transformar nossa integral para uma forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a equação da elipsoide. Vamos definir:
Com isso, a equação da elipsoide fica:
Essa é a equação de uma esfera de raio 1 no espaço .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o volume dessa esfera unitária e depois ajustar para a nossa elipsoide original usando o fator de escala de transformação. O volume da esfera de raio 1 é conhecido e é dado por:

Passo 4

Devido à transformação que fizemos, cada dimensão foi escalada por respectivamente. Portanto, para encontrar o volume da elipsoide original, multiplicamos o volume da esfera pelo produto dos fatores de escala:

Resposta

O volume da elipsoide é:

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