Utiliza integral tripla para determinar o volume da elipse de equação
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume de uma elipse tridimensional, chamada de elipsoide, usando integrais triplas. O enunciado nos dá a equação da elipsoide:
Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral tripla para calcular volumes e usar coordenadas que facilitem nossa conta, como as coordenadas elipsoidais ou transformar nossa integral para uma forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a equação da elipsoide. Vamos definir:
Com isso, a equação da elipsoide fica:
Essa é a equação de uma esfera de raio 1 no espaço
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o volume dessa esfera unitária e depois ajustar para a nossa elipsoide original usando o fator de escala de transformação. O volume da esfera de raio 1 é conhecido e é dado por:
Passo 4
Devido à transformação que fizemos, cada dimensão
foi escalada por
respectivamente. Portanto, para encontrar o volume da elipsoide original, multiplicamos o volume da esfera pelo produto dos fatores de escala:
Resposta
O volume da elipsoide é: