Calcule (como achar melhor):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. O enunciado pede para calcular a integral
. Esse tipo de problema está relacionado ao uso de coordenadas polares, que são muito úteis quando lidamos com regiões circulares ou funções que dependem da distância ao ponto de origem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Os limites de
vão de
a
, e para cada
,
varia de
até
. Isso descreve a parte superior de um círculo de raio 1 no plano xy.
Passo 3
Como a região é um semicírculo, é mais fácil resolver a integral usando coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
E o elemento de área
em coordenadas polares é:
Passo 4
Também precisamos converter a função que estamos integrando,
, para coordenadas polares. Observamos que:
Então, a função simplifica para
.
Passo 5
Agora, vamos estabelecer os novos limites de integração em coordenadas polares. Como estamos lidando com a parte superior do círculo de raio 1:
[
r) varia de a
[
\theta) varia de a
(já que é a metade superior do círculo).
r) varia de
[
\theta) varia de
Passo 6
Substituindo tudo na integral original, temos:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Seja
e
dA. Interprete
como um volume (faça um esboço gráfico) e determine o valor de
.
Calcule
, onde
e
. Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
Utiliza integral tripla para determinar o volume da elipse de equação
Determine o volume de
e
, onde
é a elipse
de área mínima que circunda o círculo de equação
.