(b) Determine o volume da regi ao limitada acima pela paraboloide , e abaixo pelo quadrado .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o volume de uma região que está acima da paraboloide e abaixo de um quadrado . Aqui, o quadrado define a área no plano sobre a qual vamos calcular o volume. Para resolver isso, vamos usar integração dupla, que é uma maneira de somar infinitos pequenos pedaços de volume sobre uma área planejada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar isso. A paraboloide é uma superfície curva que se abre para cima. O quadrado está no plano , e queremos o volume entre essa área e a paraboloide. Para calcular esse volume, configuramos uma integral dupla sobre da função que representa a altura da paraboloide, que é .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla. A fórmula geral para o volume é:
Como é um quadrado de a e a , podemos expressar a integral como:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 5

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a :
Calculando cada parte:
Somando os dois resultados:

Resposta

O volume da região limitada pela paraboloide e pelo quadrado é unidades cúbicas.

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(b) Seja o campo vetorial dado por e seja o caminho . Determine
(a) Mude para coordenadas cilíndricas ou esféricas para avaliar a integral:
Seja . Descreva as curvas de nível com os valores de obtidos em a).
(a) Seja a hélice e sejan . Calcular