(b) Determine o volume da regi ao limitada acima pela paraboloide
, e abaixo pelo quadrado
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o volume de uma região que está acima da paraboloide
e abaixo de um quadrado
. Aqui, o quadrado
define a área no plano
sobre a qual vamos calcular o volume. Para resolver isso, vamos usar integração dupla, que é uma maneira de somar infinitos pequenos pedaços de volume sobre uma área planejada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar isso. A paraboloide
é uma superfície curva que se abre para cima. O quadrado
está no plano
, e queremos o volume entre essa área e a paraboloide. Para calcular esse volume, configuramos uma integral dupla sobre
da função que representa a altura da paraboloide, que é
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla. A fórmula geral para o volume
é:
Como
é um quadrado de
a
e
a
, podemos expressar a integral como:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 5
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
:
Calculando cada parte:
Somando os dois resultados:
Resposta
O volume da região limitada pela paraboloide
e pelo quadrado
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
(b) Seja
o campo vetorial dado por
e seja
o caminho
. Determine
(a) Mude para coordenadas cilíndricas ou esféricas para avaliar a integral:
Seja
. Descreva as curvas de nível
com os valores de
obtidos em a).
(a) Seja
a hélice
e sejan
. Calcular