Seja
. Descreva as curvas de nível
com os valores de
obtidos em a).
Passo 1
Então, a gente tem a função
. A questão pede para a gente descrever as curvas de nível dessa função, que são as curvas onde
para alguns valores de
que foram encontrados na parte a). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que estamos procurando todos os pontos
no espaço que fazem a função
igual a um certo valor
. Então, temos:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Essa equação representa uma esfera no espaço tridimensional com centro na origem
e raio
, desde que
.
Passo 5
Então, as curvas de nível
são esferas com raio
. É importante notar que para
ser positivo,
deve ser menor que 1. Se
, o raio seria zero, ou seja, apenas o ponto
. Para
, não existe uma esfera real que satisfaça a equação, pois o raio seria imaginário.
Resposta
As curvas de nível
são esferas centradas na origem com raio
, para cada valor de
menor que 1.
Exercícios relacionados
(b) Determine o volume da regi ao limitada acima pela paraboloide
, e abaixo pelo quadrado
.
(b) Seja
o campo vetorial dado por
e seja
o caminho
. Determine
(a) Seja
a hélice
e sejan
. Calcular
Resolva as equações diferenciais abaixo conforme o que se pede:
(redutíveis à variáveis separáveis)