Seja f(x, y, z) = 1 / (x^2 + y^2 + z^2 + 1). Descreva as curvas de nível f(x, y, z) = k com os valores de k obtidos em a).

Passo 1

Então, a gente tem a função . A questão pede para a gente descrever as curvas de nível dessa função, que são as curvas onde para alguns valores de que foram encontrados na parte a). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que estamos procurando todos os pontos no espaço que fazem a função igual a um certo valor . Então, temos:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora, isolamos :
Essa equação representa uma esfera no espaço tridimensional com centro na origem e raio , desde que .

Passo 5

Então, as curvas de nível são esferas com raio . É importante notar que para ser positivo, deve ser menor que 1. Se , o raio seria zero, ou seja, apenas o ponto . Para , não existe uma esfera real que satisfaça a equação, pois o raio seria imaginário.

Resposta

As curvas de nível são esferas centradas na origem com raio , para cada valor de menor que 1.

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