(a) Seja a hélice e sejan . Calcular

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma hélice definida por para entre e . A função que queremos integrar ao longo dessa hélice é . O que vamos precisar para resolver isso é entender como calcular uma integral de linha de uma função escalar ao longo de uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a integral de ao longo da curva , usamos a fórmula:
Aqui, é a derivada da curva, que nos dá a velocidade ao longo da hélice, e é o módulo dessa derivada, ou seja, a magnitude.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da curva :
Agora, calculamos o módulo dessa derivada:
Isso significa que a hélice tem uma velocidade constante de .

Passo 4

Em seguida, vamos substituir na função :
Então, a integral fica:
Podemos factorizar o para facilitar:

Passo 5

Vamos dividir a integral em duas partes:
Primeiro, calculamos . Sabemos que:
Avaliado de a , temos:

Passo 6

Agora, calculamos a segunda integral:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral vale .

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Seja . Descreva as curvas de nível com os valores de obtidos em a).
(b) Determine o volume da regi ao limitada acima pela paraboloide , e abaixo pelo quadrado .
Resolva as equações diferenciais abaixo conforme o que se pede: (redutíveis à variáveis separáveis)
Classifique as equações diferenciais abaixo (quanto a ordem, linearidade e tipo):
a.
b. ;
c. .