(a) Seja gamma:[0,2 pi] R^3 a hélice gamma(t)=(cos t, sin t, t) e sejan f(x, y, z)=x y+z. Calcular
integralgamma f d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma hélice definida por para entre e . A função que queremos integrar ao longo dessa hélice é . O que vamos precisar para resolver isso é entender como calcular uma integral de linha de uma função escalar ao longo de uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a integral de integralgamma f , ds = integrala^b f(gamma(t)) , |gamma'(t)| , dt ao longo da curva , usamos a fórmula:
Aqui, é a derivada da curva, que nos dá a velocidade ao longo da hélice, e é o módulo dessa derivada, ou seja, a magnitude.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da curva gamma'(t) = ddt(cos t, sin t, t) = (-sin t, cos t, 1) :
|gamma'(t)| = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + 1^2 = raizsin^2 t + cos^2 t + 1 = raiz1 + 1 = raiz2
Agora, calculamos o módulo dessa derivada:
Isso significa que a hélice tem uma velocidade constante de .

Passo 4

Em seguida, vamos substituir f(gamma(t)) = f(cos t, sin t, t) = (cos t)(sin t) + t na função integral0^2pi ( cos t sin t + t ) raiz2 , dt :
raiz2 integral0^2pi (cos t sin t + t) , dt
Então, a integral fica:
Podemos factorizar o para facilitar:

Passo 5

Vamos dividir a integral em duas partes:
raiz2 ( integral0^2pi cos t sin t , dt + integral0^2pi t , dt )
Primeiro, calculamos integral cos t sin t , dt = 12 sin^2 t + C . Sabemos que:
12 sin^2 (2pi) - 12 sin^2 (0) = 0 - 0 = 0
Avaliado de a , temos:

Passo 6

Agora, calculamos a segunda integral:
integral0^2pi t , dt = t^22 |0^2pi = (2pi)^22 - 0 = 2pi^2
Então, substituindo de volta:
raiz2 (0 + 2pi^2) = 2raiz2 pi^2

Resposta

A integral vale .

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