Determine o volume do sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano . Esboce o sólido.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um sólido que está limitado pelo parabolóide e pelo plano (que é ). Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que a simetria do problema facilita nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do parabolóide para resolvermos para :
Isso nos mostra que varia de 0 até .

Passo 3

Agora, precisamos determinar a região de integração no plano . A interseção do parabolóide com o plano ocorre quando :
Isso é um círculo de raio 2 centrado na origem.

Passo 4

Devido à simetria circular, é mais fácil usar coordenadas polares para calcular o volume. Lembre-se que em coordenadas polares temos que , , e a área elementar .

Passo 5

Configurando a integral dupla para o volume :
Onde é a região circular de raio 2.

Passo 6

Estabelecendo os limites de integração:
  • vai de 0 a 2
  • vai de 0 a

Passo 7

Calculando a integral:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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