Determine o volume do sólido limitado pelo parabolóide
e pelo plano
. Esboce o sólido.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um sólido que está limitado pelo parabolóide
e pelo plano
(que é
). Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que a simetria do problema facilita nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do parabolóide para resolvermos para
:
Isso nos mostra que
varia de 0 até
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar a região de integração no plano
. A interseção do parabolóide com o plano
ocorre quando
:
Isso é um círculo de raio 2 centrado na origem.
Passo 4
Devido à simetria circular, é mais fácil usar coordenadas polares para calcular o volume. Lembre-se que em coordenadas polares temos que
,
, e a área elementar
.
Passo 5
Configurando a integral dupla para o volume
:
Onde
é a região circular de raio 2.
Passo 6
Estabelecendo os limites de integração:
-
vai de 0 a 2 -
vai de 0 a
Passo 7
Calculando a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.